Subgroups — #497912

Order 512.

644 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#22656	C₂	1	2	yes	maximal
3	#13178	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#12921	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#12919	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12889	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#12835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#12834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂×#1380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
17	#2352	—	2	2	no	—
18	D₄×C₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#367	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#1949	—	2	2	no	—
27	#1854	—	2	2	no	—
28	#1853	—	2	2	no	—
29	#1846	C₂²	1	2	yes	—
30	#1808	C₂²	1	2	yes	—
31	#1808	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
33	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1380	C₂²	1	2	yes	—
36	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1380	C₂²	1	2	yes	—
38	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1380	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#117	—	2	2	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
46	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
47	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
49	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₈×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₈×D₄	Q₈	1	4	yes	—
55	#427	—	2	4	no	—
56	#427	—	4	2	no	—
57	C₂×#107	—	2	4	no	—
58	C₂×#107	—	2	2	no	—
59	C₂×#107	—	4	2	no	—
60	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#106	—	2	2	no	—
65	C₂×#106	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#388	—	4	2	no	—
71	#387	—	4	2	no	—
72	#386	—	4	2	no	—
73	#382	—	2	2	no	—
74	#380	—	2	2	no	—
75	#380	—	2	2	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
78	#367	—	4	2	no	—
79	#366	—	2	4	no	—
80	#366	—	4	2	no	—
81	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
82	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
83	C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
84	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
85	#340	—	2	2	no	—
86	#340	—	2	2	no	—
87	#340	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
90	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
105	C₄×D₄	Q₁₆	1	4	yes	—
106	#117	—	4	4	no	—
107	#117	—	8	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
122	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
130	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	#107	—	2	2	no	—
135	#107	—	2	2	no	—
136	#107	—	2	2	no	—
137	#107	—	2	2	no	—
138	#107	—	2	2	no	—
139	#107	—	2	2	no	—
140	#107	—	2	2	no	—
141	#107	—	4	4	no	—
142	#107	#41	1	4	yes	—
143	#106	—	4	4	no	—
144	#106	—	8	2	no	—
145	C₄⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
146	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
147	C₂²⋊C₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₄×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
150	#95	—	4	2	no	—
151	#95	—	4	2	no	—
152	#95	—	4	2	no	—
153	#95	—	4	2	no	—
154	#95	—	4	2	no	—
155	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	#107	1	4	yes	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
170	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	—	2	2	no	—
183	C₂×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	4	no	—
187	C₂×C₈	—	2	4	no	—
188	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
194	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
196	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
197	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
200	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
201	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
202	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
203	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
204	C₄⋊C₄	#107	1	4	yes	—
205	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
206	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
207	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
208	C₂²⋊C₄	#107	1	4	yes	—
209	C₂²⋊C₄	#107	1	4	yes	—
210	C₄²	—	8	4	no	—
211	C₄²	—	16	2	no	—
212	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₄²	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
214	C₁₆	—	2	2	no	—
215	C₁₆	—	2	2	no	—
216	C₁₆	—	2	2	no	—
217	C₁₆	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	1	no	—
219	C₂³	—	2	1	no	—
220	C₂³	—	2	2	no	—
221	C₂³	—	2	2	no	—
222	C₂³	—	2	1	no	—
223	C₂³	—	2	1	no	—
224	C₂³	—	2	2	no	—
225	C₂³	C₂×#107	1	2	yes	—
226	C₂³	C₂×#107	1	2	yes	—
227	C₂³	#508	1	4	yes	—
228	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
229	D₄	—	2	8	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	1	no	—
232	C₂×C₄	—	2	1	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂×C₄	—	8	2	no	—
243	C₂×C₄	—	8	2	no	—
244	C₂×C₄	—	8	2	no	—
245	C₂×C₄	—	8	2	no	—
246	C₂×C₄	—	8	2	no	—
247	C₂×C₄	—	8	2	no	—
248	C₂×C₄	—	8	2	no	—
249	C₂×C₄	—	8	2	no	—
250	C₂×C₄	—	8	2	no	—
251	C₂×C₄	—	8	2	no	—
252	C₂×C₄	—	8	2	no	—
253	C₂×C₄	—	16	8	no	—
254	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
255	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂×#107	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
262	C₈	—	2	2	no	—
263	C₈	—	2	2	no	—
264	C₈	—	2	2	no	—
265	C₈	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
267	C₈	#554	1	2	yes	—
268	C₂²	—	2	4	no	—
269	C₂²	—	2	4	no	—
270	C₂²	—	2	2	no	—
271	C₂²	—	2	2	no	—
272	C₂²	—	2	2	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	4	2	no	—
276	C₂²	—	4	2	no	—
277	C₂²	#2158	1	4	yes	—
278	C₂²	C₂²×#107	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	#3294	1	2	yes	—
280	C₂²	C₂×#508	1	2	yes	—
281	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	#3417	1	1	yes	characteristic
283	C₄	—	2	2	no	—
284	C₄	—	2	2	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	2	no	—
287	C₄	—	8	4	no	—
288	C₄	—	16	2	no	—
289	C₄	—	16	2	no	—
290	C₄	—	16	2	no	—
291	C₄	#2349	1	1	yes	characteristic
292	C₄	#2912	1	1	yes	characteristic
293	C₄	#3299	1	2	yes	—
294	C₂	—	2	4	no	—
295	C₂	—	4	2	no	—
296	C₂	#22705	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×#2158	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#33410	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#33864	1	2	yes	—
300	C₂	#33867	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	D₈
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #13178	C₂	semidirect
4. #12921	C₂	semidirect
5. #12919	C₂	semidirect
6. #12889	C₂	semidirect
7. #12835	C₂	semidirect
8. #12834	C₂	semidirect
9. C₄×#366	C₂	semidirect
10. #12556	C₂	semidirect
11. C₂×#1380	C₂	semidirect
18. D₄×C₁₆	C₄	semidirect
48. C₂²×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
81. C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
83. C₂²⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
84. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×C₁₆	2
#22656	2
#13178	2
#12921	2
#12919	2
#12889	2
#12835	2
#12834	2
C₄×#366	2
#12556	2
C₂×#1380	2