Subgroups — #498102

Order 512.

870 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2112	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₈×#120	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12976	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#12913	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12612	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₄×#120	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#2168	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#2112	—	2	8	no	—
21	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
27	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	#1869	C₄	1	2	yes	—
30	#1869	C₄	1	1	yes	characteristic
31	#1850	C₄	1	2	yes	—
32	#1850	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#1779	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	#1374	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#1374	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1374	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
41	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
42	C₂³×C₈	—	4	1	no	—
43	C₂³×C₈	—	4	1	no	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#120	C₈	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
53	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
54	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
55	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
56	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
57	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
58	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
59	C₂²×C₁₆	—	4	1	no	—
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
64	C₈×D₄	—	2	4	no	—
65	C₈×D₄	—	2	4	no	—
66	C₈×D₄	—	4	1	no	—
67	C₈×D₄	—	4	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	#386	C₈	1	1	yes	characteristic
79	#386	C₈	1	2	yes	—
80	#385	C₈	1	2	yes	—
81	#385	C₈	1	1	yes	characteristic
82	#379	C₈	1	1	yes	characteristic
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
86	C₄⋊C₁₆	—	4	1	no	—
87	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
88	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
89	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂²⋊C₁₆	—	4	1	no	—
92	C₂²⋊C₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
93	#346	—	2	4	no	—
94	C₄×C₁₆	—	4	1	no	—
95	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₂⁵	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
100	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
105	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
126	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	#120	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	4	1	no	—
142	C₄×D₄	—	4	1	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
144	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	M₃₂	—	4	8	no	—
156	M₃₂	—	4	8	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
166	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
167	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
168	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
183	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
184	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	2	no	—
187	C₂⁴	—	4	1	no	—
188	C₂⁴	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	—	4	1	no	—
190	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
191	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
192	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	4	1	no	—
196	C₂×D₄	—	4	1	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	M₃₂	1	4	yes	complemented
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	8	no	—
246	C₂×C₈	—	4	1	no	—
247	C₂×C₈	—	4	1	no	—
248	C₂×C₈	—	4	2	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	1	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	1	no	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	1	no	—
271	C₁₆	—	2	4	no	—
272	C₁₆	—	2	4	no	—
273	C₁₆	—	4	2	no	—
274	C₁₆	—	4	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	1	no	—
287	C₂³	—	2	1	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	4	4	no	—
290	C₂³	—	4	8	no	—
291	C₂³	—	4	8	no	—
292	C₂³	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	C₈×D₄	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
298	D₄	—	4	4	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	1	no	—
328	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×M₃₂	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	4	no	—
335	C₈	—	4	1	no	—
336	C₈	—	4	1	no	—
337	C₈	—	4	2	no	—
338	C₈	—	4	1	no	—
339	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
340	C₈	#546	1	2	yes	—
341	C₈	#551	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	4	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	4	16	no	—
350	C₂²	—	4	1	no	—
351	C₂²	—	4	1	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	2	yes	—
361	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂²×M₃₂	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#3407	1	2	yes	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	4	1	no	—
368	C₄	—	4	1	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	1	no	—
372	C₄	#2358	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2933	1	2	yes	—
374	C₄	#2977	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	4	2	no	—
376	C₂	—	4	4	no	—
377	C₂	—	4	2	no	—
378	C₂	#22842	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#33433	1	2	yes	—
380	C₂	D₄×M₃₂	1	2	yes	—
381	C₂	#33487	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#33492	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂×#120	C₈
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2168	C₂	semidirect
2. C₂×#2112	C₂	semidirect
4. #13189	C₂	semidirect
5. #13121	C₂	semidirect
6. #12977	C₂	semidirect
7. #12976	C₂	semidirect
8. #12913	C₂	semidirect
9. #12612	C₂	semidirect
13. C₂³×C₁₆	C₂²	semidirect
18. C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
19. C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
25. C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	semidirect
26. C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	semidirect
27. C₂×#346	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×C₁₆	C₂²	semidirect
36. #1374	C₂²	semidirect
37. #1374	C₂²	semidirect
38. #1374	C₂²	semidirect
92. C₂²⋊C₁₆	D₄	semidirect
198. C₂×D₄	M₃₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2168	2
C₂×#2112	2
C₈×#120	2
#13189	2
#13121	2
#12977	2
#12976	2
#12913	2
#12612	2