Subgroups — #498105

Order 512.

816 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2169	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2113	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12977	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#12976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12913	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2388	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#2169	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2113	—	2	8	no	—
21	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1870	C₄	1	2	yes	—
30	#1870	C₄	1	1	yes	characteristic
31	#1851	C₄	1	2	yes	—
32	#1851	C₄	1	1	yes	characteristic
33	#1780	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	#1374	C₂²	1	2	yes	—
37	#1374	C₂²	1	2	yes	—
38	#1374	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	—	4	1	no	—
43	C₂×#131	—	4	1	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
52	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
53	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
54	C₂×M₃₂	—	4	1	no	—
55	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
56	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
63	C₈×D₄	—	2	4	no	—
64	C₈×D₄	—	2	4	no	—
65	C₈×D₄	—	4	1	no	—
66	C₈×D₄	—	4	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	#395	C₈	1	1	yes	characteristic
78	#394	C₈	1	1	yes	characteristic
79	#394	C₈	1	2	yes	—
80	#393	C₈	1	1	yes	characteristic
81	#392	C₈	1	2	yes	—
82	#392	C₈	1	1	yes	characteristic
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
86	C₄⋊C₁₆	—	4	1	no	—
87	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
88	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
89	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
91	C₂²⋊C₁₆	—	4	1	no	—
92	C₂²⋊C₁₆	D₄	1	8	yes	complemented
93	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
94	C₄×C₁₆	—	4	1	no	—
95	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
96	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
97	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
98	C₂×#41	—	2	4	no	—
99	C₂×#41	—	2	4	no	—
100	C₂×#41	—	4	1	no	—
101	C₂×#41	—	4	1	no	—
102	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
106	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	#131	—	4	4	no	—
111	#131	—	4	8	no	—
112	#131	—	4	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
117	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	4	1	no	—
141	C₄×D₄	—	4	1	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	M₃₂	—	4	4	no	—
154	M₃₂	—	4	8	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
166	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
170	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	1	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	#95	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
181	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
182	#95	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
183	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
184	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
185	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
187	#41	—	4	4	no	—
188	#41	—	4	8	no	—
189	#41	—	4	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	1	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	1	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	M₁₆	—	4	4	no	—
226	M₁₆	—	4	8	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	4	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	1	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	1	no	—
247	C₂×C₈	—	4	1	no	—
248	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	1	no	—
266	C₁₆	—	2	4	no	—
267	C₁₆	—	2	4	no	—
268	C₁₆	—	4	2	no	—
269	C₁₆	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	1	no	—
286	C₂³	C₈×D₄	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	4	4	no	—
289	D₄	—	4	8	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	1	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	C₈×D₄	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#504	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
325	C₈	—	2	4	no	—
326	C₈	—	4	1	no	—
327	C₈	—	4	1	no	—
328	C₈	—	4	2	no	—
329	C₈	—	4	1	no	—
330	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
331	C₈	#546	1	2	yes	—
332	C₈	#551	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	1	no	—
341	C₂²	—	4	1	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	1	no	—
347	C₂²	—	4	1	no	—
348	C₂²	—	4	1	no	—
349	C₂²	—	4	1	no	—
350	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	2	yes	—
351	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#504	1	2	yes	—
354	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
355	C₄	—	2	4	no	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	2	2	no	—
358	C₄	—	4	1	no	—
359	C₄	—	4	1	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	4	1	no	—
362	C₄	#2358	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#2933	1	2	yes	—
364	C₄	#2977	1	1	yes	characteristic
365	C₂	—	4	4	no	—
366	C₂	—	8	1	no	—
367	C₂	—	8	1	no	—
368	C₂	#22842	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#33434	1	2	yes	—
370	C₂	#33436	1	2	yes	—
371	C₂	#33490	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#33493	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	#2388	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2169	C₂	semidirect
2. C₂×#2113	C₂	semidirect
4. #13189	C₂	semidirect
5. #13120	C₂	semidirect
6. #12977	C₂	semidirect
7. #12976	C₂	semidirect
8. #12913	C₂	semidirect
9. C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
92. C₂²⋊C₁₆	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2169	2
C₂×#2113	2
#21442	2
#13189	2
#13120	2
#12977	2
#12976	2
#12913	2
C₁₆×C₂²⋊C₄	2