Subgroups — #498281

Order 512.

774 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×C₄⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₈×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13159	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12912	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
18	D₄×C₁₆	—	2	4	no	—
19	D₄×C₁₆	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
21	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
33	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
34	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
35	#1923	C₄	1	2	yes	—
36	#1869	C₄	1	2	yes	—
37	#1797	C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
40	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1374	C₂²	1	2	yes	—
43	#1374	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#121	C₈	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
56	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₈×D₄	—	2	4	no	—
64	C₈×D₄	—	2	4	no	—
65	C₈×D₄	—	2	2	no	—
66	C₈×D₄	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	#390	C₈	1	1	yes	characteristic
82	#389	C₈	1	1	yes	characteristic
83	#388	C₈	1	2	yes	—
84	#386	C₈	1	2	yes	—
85	#380	C₈	1	1	yes	characteristic
86	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
89	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
90	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
91	C₄⋊C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
92	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
94	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
95	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
96	C₂²⋊C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
97	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
98	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
99	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
100	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	#121	C₁₆	1	8	yes	complemented
131	C₄×D₄	—	2	4	no	—
132	C₄×D₄	—	2	4	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	C₄×D₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
166	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
167	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
168	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	2	no	—
183	C₄×C₈	—	2	2	no	—
184	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
186	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
187	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
188	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
189	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
190	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
196	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	4	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	1	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
270	C₄²	#131	1	2	yes	—
271	C₁₆	—	2	2	no	—
272	C₁₆	—	2	4	no	—
273	C₁₆	—	2	2	no	—
274	C₁₆	—	4	2	no	—
275	C₁₆	—	4	1	no	—
276	C₁₆	—	4	1	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
288	C₂³	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
289	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
290	C₂³	#504	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
292	D₄	—	2	16	no	—
293	D₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	8	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	2	2	no	—
336	C₈	—	4	2	no	—
337	C₈	—	4	1	no	—
338	C₈	—	4	2	no	—
339	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
340	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
341	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
342	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	2	4	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	D₄×C₁₆	1	4	yes	complemented
357	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2988	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	4	1	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	D₄×C₁₆	1	4	yes	complemented
372	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#2933	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2994	1	1	yes	characteristic
376	C₂	—	2	4	no	—
377	C₂	—	4	4	no	—
378	C₂	#22985	1	1	yes	characteristic
379	C₂	C₂×D₄×C₁₆	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂×D₄×C₁₆	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#33436	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#33438	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#33502	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#33508	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂×#121	C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
2. C₂×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄⋊C₁₆	C₂	semidirect
5. #13189	C₂	semidirect
6. #13159	C₂	semidirect
7. #13120	C₂	semidirect
8. #12976	C₂	semidirect
9. #12912	C₂	semidirect
10. C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
11. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
91. C₄⋊C₁₆	D₄	semidirect
96. C₂²⋊C₁₆	D₄	semidirect
130. #121	C₁₆	semidirect
195. C₂×D₄	C₂×C₁₆	semidirect
196. C₂×D₄	C₂×C₁₆	semidirect
212. C₂²×C₄	C₂×C₁₆	semidirect
257. C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect
262. C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect
356. C₂²	D₄×C₁₆	semidirect
371. C₄	D₄×C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×C₁₆	2
C₂²×C₄⋊C₁₆	2
C₈×#121	2
#13189	2
#13159	2
#13120	2
#12976	2
#12912	2
C₁₆×C₄⋊C₄	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2