Subgroups — #498285

Order 512.

631 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2170	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#33438	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33398	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21517	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13191	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13163	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13124	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12980	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12917	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#350	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#504	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#504	C₂²	1	2	yes	—
14	#3035	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
16	#2931	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2170	—	2	8	no	—
19	#2169	—	2	1	no	—
20	#2168	—	2	2	no	—
21	D₄×C₁₆	—	2	1	no	—
22	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	—
23	#2151	—	2	2	no	—
24	#2151	C₂²	1	2	yes	—
25	#2150	—	2	1	no	—
26	#2150	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊C₁₆	—	2	1	no	—
28	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#350	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#350	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2113	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
37	#1980	C₄	1	1	yes	characteristic
38	#1950	C₄	1	1	yes	characteristic
39	#1929	C₄	1	2	yes	—
40	#1876	C₄	1	2	yes	—
41	#1806	C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1764	C₂²	1	2	yes	—
44	#1379	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1379	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1376	C₂²	1	2	yes	—
47	#1374	C₂²	1	2	yes	—
48	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#131	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#532	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₄×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	#504	—	2	4	no	—
55	#504	—	2	4	no	—
56	#504	—	4	2	no	—
57	#504	—	4	2	no	—
58	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
59	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
60	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
68	#464	C₈	1	2	yes	—
69	#463	C₈	1	2	yes	—
70	#462	C₈	1	1	yes	characteristic
71	#461	C₈	1	1	yes	characteristic
72	#460	C₈	1	1	yes	characteristic
73	#459	C₈	1	1	yes	characteristic
74	#443	—	2	4	no	—
75	#443	—	2	4	no	—
76	#436	—	2	1	no	—
77	#436	—	2	1	no	—
78	C₈×D₄	—	2	1	no	—
79	C₈×D₄	—	2	1	no	—
80	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	#423	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#416	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#405	—	2	1	no	—
89	#405	—	2	1	no	—
90	#405	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
93	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	#364	—	2	4	no	—
99	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
100	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₁₆	—	2	1	no	—
102	C₄⋊C₁₆	—	2	1	no	—
103	C₄⋊C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₄⋊C₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₄⋊C₁₆	D₄	1	2	yes	—
106	#350	—	2	2	no	—
107	#350	—	2	4	no	—
108	#350	—	4	2	no	—
109	#350	D₄	1	4	yes	complemented
110	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
112	#346	—	2	1	no	—
113	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
114	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
115	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
116	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
117	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	#339	C₂×C₄	1	2	yes	—
119	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
120	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
121	C₂×#41	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	#135	—	2	4	no	—
123	#135	—	2	4	no	—
124	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
125	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
126	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
127	C₂×D₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
128	#131	—	2	1	no	—
129	#131	—	2	1	no	—
130	#131	—	2	2	no	—
131	#131	—	2	2	no	—
132	#131	—	2	2	no	—
133	#131	—	2	2	no	—
134	#131	—	2	2	no	—
135	#131	—	4	1	no	—
136	#131	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	#131	#41	1	2	yes	—
138	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
143	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
151	#127	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
152	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
153	#121	—	2	1	no	—
154	#121	—	2	1	no	—
155	C₄×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
156	C₄×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
157	C₄×D₄	—	2	1	no	—
158	C₄×D₄	—	2	1	no	—
159	C₄×D₄	—	2	1	no	—
160	C₄×D₄	—	2	1	no	—
161	C₄×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
162	C₄×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
163	#117	—	2	1	no	—
164	#117	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	M₃₂	—	2	1	no	—
170	M₃₂	—	2	2	no	—
171	M₃₂	—	2	1	no	—
172	M₃₂	—	2	2	no	—
173	M₃₂	—	2	1	no	—
174	M₃₂	—	4	4	no	—
175	M₃₂	—	4	4	no	—
176	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
178	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
179	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
180	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
181	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
182	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
183	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
184	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
185	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
186	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
187	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
188	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
189	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	#108	—	2	4	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
194	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
195	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊C₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
198	#104	—	2	4	no	—
199	#104	—	2	4	no	—
200	#104	—	4	2	no	—
201	#103	C₂×C₈	1	2	yes	—
202	#103	C₂×C₈	1	2	yes	—
203	#102	C₂×C₈	1	2	yes	—
204	#102	C₂×C₈	1	2	yes	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
207	#97	—	2	1	no	—
208	#97	—	2	1	no	—
209	#97	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	—	2	1	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	C₄×C₈	—	2	1	no	—
215	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
218	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
219	#95	—	2	1	no	—
220	#41	—	2	1	no	—
221	#41	—	2	1	no	—
222	#41	—	2	2	no	—
223	#41	—	2	2	no	—
224	#41	—	2	2	no	—
225	#41	—	2	2	no	—
226	#41	C₄×D₄	1	2	yes	—
227	#41	#131	1	2	yes	—
228	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
229	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	—	2	1	no	—
234	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
235	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
244	Q₁₆	—	2	4	no	—
245	SD₁₆	—	2	4	no	—
246	SD₁₆	—	2	4	no	—
247	D₈	—	2	4	no	—
248	M₁₆	—	2	1	no	—
249	M₁₆	—	2	2	no	—
250	M₁₆	—	2	2	no	—
251	M₁₆	—	2	2	no	—
252	M₁₆	—	2	2	no	—
253	M₁₆	—	2	1	no	—
254	M₁₆	—	2	1	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	1	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	1	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
275	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
281	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
286	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
287	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
288	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	2	1	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₄²	—	2	1	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
302	C₁₆	—	2	2	no	—
303	C₁₆	—	2	2	no	—
304	C₁₆	—	2	2	no	—
305	C₁₆	—	2	2	no	—
306	C₁₆	—	4	2	no	—
307	C₁₆	—	4	1	no	—
308	C₁₆	—	4	1	no	—
309	C₂³	—	2	1	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
312	Q₈	—	2	1	no	—
313	Q₈	—	2	2	no	—
314	Q₈	—	2	2	no	—
315	Q₈	C₈×D₄	1	2	yes	—
316	D₄	—	2	2	no	—
317	D₄	—	2	2	no	—
318	D₄	—	2	2	no	—
319	D₄	—	2	1	no	—
320	D₄	—	2	2	no	—
321	D₄	—	4	2	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	D₄	—	4	2	no	—
324	D₄	—	8	1	no	—
325	D₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	8	1	no	—
341	C₂×C₄	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
351	C₈	—	2	2	no	—
352	C₈	—	2	2	no	—
353	C₈	—	2	2	no	—
354	C₈	—	2	1	no	—
355	C₈	—	2	1	no	—
356	C₈	—	4	2	no	—
357	C₈	—	4	1	no	—
358	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
359	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
360	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
361	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	4	1	no	—
366	C₂²	—	4	1	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2994	1	1	yes	characteristic
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	2	2	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	—	4	1	no	—
379	C₄	—	4	1	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	#2170	1	2	yes	complemented
382	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
383	C₄	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2933	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#2988	1	1	yes	characteristic
386	C₂	—	2	1	no	—
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	4	2	no	—
389	C₂	—	8	2	no	—
390	C₂	#22985	1	1	yes	characteristic
391	C₂	C₂×#2170	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#33442	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₈×D₄
prime radical	#3035	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂×C₄⋊C₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2170	C₂	semidirect
2. #33438	C₂	semidirect
3. #33398	C₂	semidirect
5. #13191	C₂	semidirect
6. #13163	C₂	semidirect
7. #13124	C₂	semidirect
8. #12980	C₂	semidirect
9. #12917	C₂	semidirect
10. C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
11. C₄×#350	C₂	semidirect
109. #350	D₄	semidirect
381. C₄	#2170	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2170	2
#33438	2
#33398	2
#21517	2
#13191	2
#13163	2
#13124	2
#12980	2
#12917	2
C₁₆×C₄⋊C₄	2
C₄×#350	2