Subgroups — #498288

Order 512.

643 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#364	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21544	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13122	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12978	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12917	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12665	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12599	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#504	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
14	#3050	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2929	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2171	—	2	4	no	—
19	#2169	—	2	2	no	—
20	#2168	—	2	2	no	—
21	#2168	—	2	2	no	—
22	D₄×C₁₆	—	2	2	no	—
23	C₂×#364	—	2	4	no	—
24	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2151	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
30	#2113	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2108	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1974	C₄	1	1	yes	characteristic
37	#1945	C₄	1	1	yes	characteristic
38	#1937	C₄	1	2	yes	—
39	#1896	C₄	1	2	yes	—
40	#1810	C₄	1	1	yes	characteristic
41	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1764	C₂²	1	2	yes	—
43	#1379	C₂²	1	2	yes	—
44	#1379	C₂²	1	2	yes	—
45	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#525	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	#504	—	2	4	no	—
54	#504	—	4	2	no	—
55	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
56	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
57	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
58	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
59	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#467	C₈	1	1	yes	characteristic
68	#467	C₈	1	1	yes	characteristic
69	#466	C₈	1	1	yes	characteristic
70	#466	C₈	1	1	yes	characteristic
71	#465	C₈	1	2	yes	—
72	#465	C₈	1	2	yes	—
73	#443	—	2	2	no	—
74	#443	—	2	2	no	—
75	#435	—	2	2	no	—
76	#435	—	2	2	no	—
77	C₈×D₄	—	2	2	no	—
78	C₈×D₄	—	2	2	no	—
79	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
81	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#416	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#407	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#405	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#364	—	2	4	no	—
96	#364	—	2	2	no	—
97	#364	D₄	1	4	yes	complemented
98	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
99	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
100	#350	—	2	4	no	—
101	#350	—	4	2	no	—
102	C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
103	C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
104	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂²⋊C₁₆	D₄	1	2	yes	—
107	C₂²⋊C₁₆	D₄	1	2	yes	—
108	#346	—	2	2	no	—
109	#346	—	2	2	no	—
110	#346	—	2	2	no	—
111	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
112	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
113	#339	C₂×C₄	1	2	yes	—
114	#339	C₂×C₄	1	2	yes	—
115	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
117	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	#135	—	2	2	no	—
119	#135	—	2	2	no	—
120	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
122	C₂×D₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
123	#131	—	2	2	no	—
124	#131	—	2	2	no	—
125	#131	—	2	2	no	—
126	#131	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	#123	—	2	2	no	—
150	C₂²⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
151	C₂²⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
152	#121	C₂×C₈	1	2	yes	—
153	#121	C₂×C₈	1	2	yes	—
154	#120	—	2	2	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	M₃₂	—	2	2	no	—
164	M₃₂	—	2	2	no	—
165	M₃₂	—	2	2	no	—
166	M₃₂	—	4	4	no	—
167	M₃₂	—	4	4	no	—
168	M₃₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
170	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
172	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
173	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
174	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
175	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
177	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
178	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
179	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
180	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
181	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
182	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
183	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	#108	—	2	2	no	—
186	#108	—	2	2	no	—
187	#107	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
188	#107	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
189	#106	C₂×C₈	1	2	yes	—
190	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
192	#104	—	2	4	no	—
193	#104	—	4	2	no	—
194	#103	C₂×C₈	1	2	yes	—
195	#103	C₂×C₈	1	2	yes	—
196	#102	C₂×C₈	1	2	yes	—
197	#102	C₂×C₈	1	2	yes	—
198	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
199	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
200	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
202	#97	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	2	1	no	—
205	C₄×C₈	—	2	2	no	—
206	C₄×C₈	—	2	1	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
210	C₂⁴	#131	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	2	2	no	—
212	#41	—	2	2	no	—
213	#41	—	2	2	no	—
214	#41	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
236	Q₁₆	—	2	2	no	—
237	SD₁₆	—	2	4	no	—
238	D₈	—	2	2	no	—
239	M₁₆	—	2	2	no	—
240	M₁₆	—	2	2	no	—
241	M₁₆	—	2	2	no	—
242	M₁₆	—	2	2	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	1	no	—
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	2	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	1	no	—
290	C₄²	—	2	1	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	4	2	no	—
293	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
294	C₁₆	—	2	2	no	—
295	C₁₆	—	2	4	no	—
296	C₁₆	—	2	2	no	—
297	C₁₆	—	4	2	no	—
298	C₁₆	—	4	1	no	—
299	C₁₆	—	4	1	no	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	1	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	4	1	no	—
305	C₂³	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	2	2	no	—
309	Q₈	—	2	2	no	—
310	D₄	—	2	2	no	—
311	D₄	—	2	2	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	D₄	—	4	4	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	8	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
346	C₈	—	2	1	no	—
347	C₈	—	2	1	no	—
348	C₈	—	2	1	no	—
349	C₈	—	2	1	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	C₈×D₄	1	2	yes	—
353	C₈	C₈×D₄	1	2	yes	—
354	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
355	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
356	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
357	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	2	1	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	1	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	#2171	1	2	yes	complemented
371	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2933	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2994	1	1	yes	characteristic
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
382	C₄	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2988	1	1	yes	characteristic
385	C₂	—	2	1	no	—
386	C₂	—	2	2	no	—
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	4	1	no	—
389	C₂	—	8	2	no	—
390	C₂	#22985	1	1	yes	characteristic
391	C₂	C₂×#2171	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#33443	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₈×D₄
prime radical	#3050	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂×C₂²⋊C₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2171	C₂	semidirect
2. #33436	C₂	semidirect
3. C₂²×#364	C₂	semidirect
5. #13196	C₂	semidirect
6. #13162	C₂	semidirect
7. #13122	C₂	semidirect
8. #12978	C₂	semidirect
9. #12917	C₂	semidirect
10. #12665	C₂	semidirect
11. #12599	C₂	semidirect
97. #364	D₄	semidirect
370. C₂²	#2171	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2171	2
#33436	2
C₂²×#364	2
#21544	2
#13196	2
#13162	2
#13122	2
#12978	2
#12917	2
#12665	2
#12599	2