Subgroups — #498289

Order 512.

624 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33436	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2153	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#21548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13122	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12978	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12917	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12665	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12600	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#504	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
14	#3054	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2929	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2170	—	2	4	no	—
19	#2169	—	2	2	no	—
20	#2168	—	2	2	no	—
21	#2168	—	2	2	no	—
22	D₄×C₁₆	—	2	2	no	—
23	#2153	—	2	4	no	—
24	C₂×#364	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2151	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
30	#2113	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#2108	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1975	C₄	1	1	yes	characteristic
37	#1946	C₄	1	1	yes	characteristic
38	#1938	C₄	1	2	yes	—
39	#1897	C₄	1	2	yes	—
40	#1811	C₄	1	1	yes	characteristic
41	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1764	C₂²	1	2	yes	—
43	#1379	C₂²	1	2	yes	—
44	#1379	C₂²	1	2	yes	—
45	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#525	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	#504	—	2	4	no	—
54	#504	—	4	2	no	—
55	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
56	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
57	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
58	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
59	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#470	C₈	1	2	yes	—
68	#469	C₈	1	2	yes	—
69	#468	C₈	1	2	yes	—
70	#468	C₈	1	2	yes	—
71	#443	—	2	2	no	—
72	#443	—	2	2	no	—
73	#435	—	2	2	no	—
74	#435	—	2	2	no	—
75	C₈×D₄	—	2	2	no	—
76	C₈×D₄	—	2	2	no	—
77	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
80	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#416	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#407	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#405	—	2	2	no	—
87	#405	—	2	2	no	—
88	#405	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	#364	—	2	4	no	—
94	#364	—	2	2	no	—
95	#364	D₄	1	4	yes	complemented
96	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
97	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
98	#350	—	2	4	no	—
99	#350	—	4	2	no	—
100	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂²⋊C₁₆	D₄	1	2	yes	—
104	C₂²⋊C₁₆	D₄	1	2	yes	—
105	#346	—	2	2	no	—
106	#346	—	2	2	no	—
107	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
108	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
109	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
110	#339	C₂×C₄	1	2	yes	—
111	#339	C₂×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	#135	—	2	2	no	—
115	#135	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
118	C₂×D₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
119	#131	—	2	2	no	—
120	#131	—	2	2	no	—
121	#131	—	2	2	no	—
122	#131	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	#123	—	2	2	no	—
142	C₂²⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
143	C₂²⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
144	#121	C₂×C₈	1	2	yes	—
145	#121	C₂×C₈	1	2	yes	—
146	#120	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	4	1	no	—
151	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
156	M₃₂	—	2	2	no	—
157	M₃₂	—	2	2	no	—
158	M₃₂	—	2	2	no	—
159	M₃₂	—	4	4	no	—
160	M₃₂	—	4	4	no	—
161	M₃₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
166	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
167	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
168	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
169	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
170	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
172	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
173	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
174	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
175	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
176	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	#108	—	2	2	no	—
180	#108	—	2	2	no	—
181	#107	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
182	#107	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
183	#106	C₂×C₈	1	2	yes	—
184	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
185	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
186	#104	—	2	4	no	—
187	#104	—	4	2	no	—
188	#103	C₂×C₈	1	2	yes	—
189	#103	C₂×C₈	1	2	yes	—
190	#102	C₂×C₈	1	2	yes	—
191	#102	C₂×C₈	1	2	yes	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
193	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
196	#97	—	2	2	no	—
197	#97	—	2	2	no	—
198	#97	—	2	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	1	no	—
200	C₄×C₈	—	2	2	no	—
201	C₄×C₈	—	2	1	no	—
202	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
204	C₂⁴	#131	1	1	yes	characteristic
205	#41	—	2	2	no	—
206	#41	—	2	2	no	—
207	#41	—	2	2	no	—
208	#41	—	2	2	no	—
209	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
225	Q₁₆	—	2	2	no	—
226	SD₁₆	—	2	4	no	—
227	D₈	—	2	2	no	—
228	M₁₆	—	2	4	no	—
229	M₁₆	—	2	4	no	—
230	M₁₆	—	2	2	no	—
231	M₁₆	—	2	2	no	—
232	M₁₆	—	2	2	no	—
233	M₁₆	—	2	2	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	M₁₆	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	2	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	2	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
264	C₄⋊C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	1	no	—
273	C₄²	—	2	1	no	—
274	C₄²	—	2	1	no	—
275	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
276	C₁₆	—	2	1	no	—
277	C₁₆	—	2	1	no	—
278	C₁₆	—	2	4	no	—
279	C₁₆	—	2	2	no	—
280	C₁₆	—	4	2	no	—
281	C₁₆	—	4	1	no	—
282	C₁₆	—	4	1	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	4	1	no	—
287	C₂³	—	4	1	no	—
288	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	2	2	no	—
291	Q₈	—	2	2	no	—
292	D₄	—	2	2	no	—
293	D₄	—	2	2	no	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	4	2	no	—
296	D₄	—	4	2	no	—
297	D₄	—	8	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	1	no	—
309	C₂×C₄	—	4	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
322	C₈	—	2	2	no	—
323	C₈	—	2	2	no	—
324	C₈	—	4	2	no	—
325	C₈	—	4	2	no	—
326	C₈	C₈×D₄	1	2	yes	—
327	C₈	C₈×D₄	1	2	yes	—
328	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
329	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
330	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
331	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	—	2	1	no	—
333	C₂²	—	2	1	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	8	1	no	—
341	C₂²	—	8	1	no	—
342	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2933	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2994	1	1	yes	characteristic
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	8	1	no	—
351	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
352	C₄	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#2988	1	1	yes	characteristic
355	C₂	—	2	1	no	—
356	C₂	—	2	1	no	—
357	C₂	—	4	2	no	—
358	C₂	—	8	2	no	—
359	C₂	#22985	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#33441	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#33442	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₈×D₄
prime radical	#3054	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂×C₂²⋊C₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2170	C₂	semidirect
2. #33436	C₂	semidirect
3. C₂×#2153	C₂	semidirect
5. #13196	C₂	semidirect
6. #13161	C₂	semidirect
7. #13122	C₂	semidirect
8. #12978	C₂	semidirect
9. #12917	C₂	semidirect
10. #12665	C₂	semidirect
11. #12600	C₂	semidirect
95. #364	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2170	2
#33436	2
C₂×#2153	2
#21548	2
#13196	2
#13161	2
#13122	2
#12978	2
#12917	2
#12665	2
#12600	2