Subgroups — #498306

Order 512.

770 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2177	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23185	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄⋊C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13177	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13149	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13012	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12937	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12662	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#357	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2366	—	2	1	no	—
18	D₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
19	#2206	C₄	1	8	yes	complemented
20	#2177	—	2	8	no	—
21	C₂×#367	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1982	—	2	1	no	—
31	#1970	C₂²	1	2	yes	—
32	#1942	C₂²	1	2	yes	—
33	#1879	—	2	2	no	—
34	#1862	—	2	2	no	—
35	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#1802	—	2	1	no	—
37	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1380	C₂²	1	2	yes	—
42	#1374	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
44	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#127	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
52	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#493	—	2	2	no	—
59	#493	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	C₄×D₈	—	2	4	no	—
61	C₄×D₈	—	2	4	no	—
62	C₄×D₈	—	2	2	no	—
63	C₄×D₈	—	4	2	no	—
64	C₄×D₈	—	4	2	no	—
65	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
66	C₂×#107	—	2	1	no	—
67	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#102	—	2	1	no	—
73	C₂×#102	—	2	2	no	—
74	C₂×#102	—	2	2	no	—
75	C₂×#102	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#390	—	2	2	no	—
79	#390	—	4	1	no	—
80	#389	—	2	2	no	—
81	#386	—	4	2	no	—
82	#385	—	4	2	no	—
83	#384	—	2	1	no	—
84	#380	—	4	1	no	—
85	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
87	#367	—	2	4	no	—
88	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
89	#357	—	2	2	no	—
90	#357	—	2	4	no	—
91	#357	—	4	2	no	—
92	#357	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
93	#357	D₄	1	4	yes	complemented
94	#346	—	2	4	no	—
95	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
96	#340	—	2	2	no	—
97	#340	—	2	1	no	—
98	#336	D₄	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
106	C₂×D₈	—	2	4	no	—
107	C₂×D₈	—	2	2	no	—
108	C₂×D₈	—	2	1	no	—
109	C₂×D₈	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	2	2	no	—
111	C₂×D₈	—	2	1	no	—
112	C₂×D₈	—	2	2	no	—
113	C₂×D₈	—	2	1	no	—
114	C₂×D₈	—	2	2	no	—
115	C₂×D₈	—	8	1	no	—
116	C₂×D₈	—	8	1	no	—
117	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×D₈	#41	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	#127	—	2	4	no	—
125	#127	—	4	2	no	—
126	C₄×D₄	—	2	4	no	—
127	C₄×D₄	—	4	4	no	—
128	C₄×D₄	—	4	4	no	—
129	C₄×D₄	—	4	2	no	—
130	C₄×D₄	—	8	2	no	—
131	C₄×D₄	—	8	2	no	—
132	C₄×D₄	—	8	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	D₁₆	—	2	16	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
159	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
160	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	#107	—	2	1	no	—
162	#107	—	2	1	no	—
163	#107	—	2	2	no	—
164	#107	—	2	1	no	—
165	#107	—	2	2	no	—
166	#107	—	2	1	no	—
167	#107	—	8	1	no	—
168	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
169	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
171	#102	—	2	4	no	—
172	#102	—	4	4	no	—
173	#102	—	4	4	no	—
174	#102	—	8	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	2	2	no	—
177	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
178	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
179	#95	—	4	1	no	—
180	#95	—	4	2	no	—
181	#95	D₈	1	2	yes	—
182	C₂⁴	—	4	1	no	—
183	C₂⁴	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	1	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	1	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	1	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	8	2	no	—
199	C₂×D₄	—	8	2	no	—
200	C₂×D₄	—	16	1	no	—
201	C₂×D₄	—	16	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	D₈	—	2	4	no	—
221	D₈	—	2	2	no	—
222	D₈	—	2	4	no	—
223	D₈	—	2	2	no	—
224	D₈	—	2	2	no	—
225	D₈	—	4	2	no	—
226	D₈	—	4	2	no	—
227	D₈	—	8	4	no	—
228	D₈	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
251	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	16	1	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
259	C₄²	—	2	2	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	8	2	no	—
262	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
263	C₄²	#135	1	2	yes	—
264	C₁₆	—	2	4	no	—
265	C₁₆	—	2	2	no	—
266	C₁₆	—	4	1	no	—
267	C₂³	—	4	2	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	2	no	—
270	C₂³	—	4	4	no	—
271	C₂³	—	8	1	no	—
272	C₂³	—	8	1	no	—
273	C₂³	—	8	1	no	—
274	C₂³	—	8	1	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	—	8	2	no	—
278	C₂³	—	8	2	no	—
279	C₂³	—	8	2	no	—
280	C₂³	—	8	2	no	—
281	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
282	D₄	—	2	4	no	—
283	D₄	—	4	2	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	4	2	no	—
286	D₄	—	4	4	no	—
287	D₄	—	4	2	no	—
288	D₄	—	8	2	no	—
289	D₄	—	8	8	no	—
290	D₄	—	8	2	no	—
291	D₄	—	16	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	1	no	—
303	C₂×C₄	—	8	1	no	—
304	C₂×C₄	—	8	1	no	—
305	C₂×C₄	—	8	1	no	—
306	C₂×C₄	—	8	8	no	—
307	C₂×C₄	—	8	1	no	—
308	C₂×C₄	—	8	1	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	1	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	16	8	no	—
314	C₂×C₄	—	16	8	no	—
315	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#509	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#509	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	—	4	2	no	—
327	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
329	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
330	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	8	2	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	—	8	2	no	—
336	C₂²	—	8	2	no	—
337	C₂²	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	8	4	no	—
339	C₂²	—	8	4	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	16	2	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	—	16	2	no	—
344	C₂²	—	16	2	no	—
345	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3358	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#3416	1	1	yes	characteristic
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	8	2	no	—
356	C₄	—	8	2	no	—
357	C₄	—	16	2	no	—
358	C₄	—	16	1	no	—
359	C₄	#2177	1	4	yes	complemented
360	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#2946	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#3284	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#3361	1	1	yes	characteristic
364	C₂	—	8	4	no	—
365	C₂	—	16	4	no	—
366	C₂	#22995	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#2177	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#33454	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#33838	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#33840	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#33933	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#33940	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2206	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ C₈×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2177	C₂	semidirect
3. #23185	C₂	semidirect
4. C₄⋊C₄×D₈	C₂	semidirect
5. #13202	C₂	semidirect
6. #13177	C₂	semidirect
7. #13149	C₂	semidirect
8. #13012	C₂	semidirect
9. #12937	C₂	semidirect
10. #12662	C₂	semidirect
11. C₄×#357	C₂	semidirect
19. #2206	C₄	semidirect
54. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
59. #493	C₂×C₄	semidirect
65. C₄×D₈	C₂×C₄	semidirect
88. C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
92. #357	C₂×C₄	semidirect
93. #357	D₄	semidirect
228. D₈	C₄×D₄	semidirect
359. C₄	#2177	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2206	2
C₂×#2177	2
#23185	2
C₄⋊C₄×D₈	2
#13202	2
#13177	2
#13149	2
#13012	2
#12937	2
#12662	2
C₄×#357	2