Subgroups — #498331

Order 512.

690 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33582	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×AGL(1,ℤ/16)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22686	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13213	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13185	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13155	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13040	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12956	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12666	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#360	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#444	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2906	—	2	1	no	—
18	#2366	—	2	1	no	—
19	#2207	C₄	1	2	yes	complemented
20	#2207	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2206	C₄	1	2	yes	complemented
22	#2206	C₄	1	2	yes	complemented
23	AGL(1,ℤ/16)	—	2	8	no	—
24	C₂×#365	C₂²	1	2	yes	—
25	#2150	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#360	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#360	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2140	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#347	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1982	—	2	1	no	—
34	#1972	C₂²	1	2	yes	—
35	#1946	C₂²	1	2	yes	—
36	#1879	—	2	2	no	—
37	#1866	—	2	2	no	—
38	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1806	—	2	1	no	—
40	C₄×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1386	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1386	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1383	C₂²	1	2	yes	—
45	#1375	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#131	—	2	2	no	—
50	C₂×#127	—	2	1	no	—
51	C₄×#41	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
54	#509	—	2	4	no	—
55	#509	—	2	4	no	—
56	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
57	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
58	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
61	#493	—	2	1	no	—
62	#493	—	2	1	no	—
63	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#444	—	2	4	no	—
66	#444	—	4	2	no	—
67	#442	—	2	4	no	—
68	#442	—	4	2	no	—
69	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
70	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
71	C₄×SD₁₆	—	2	1	no	—
72	C₄×SD₁₆	—	2	1	no	—
73	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
74	C₄×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
75	C₂×#108	—	2	1	no	—
76	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
77	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#106	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#424	—	2	2	no	—
81	#424	—	4	2	no	—
82	#423	—	2	1	no	—
83	#423	—	4	1	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
85	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#104	—	2	2	no	—
87	#416	—	2	1	no	—
88	C₂×#102	—	2	2	no	—
89	C₂×#102	—	2	2	no	—
90	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#390	—	2	2	no	—
93	#390	—	4	1	no	—
94	#386	—	4	2	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
97	#365	—	2	4	no	—
98	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
99	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
100	#361	—	2	4	no	—
101	#361	—	4	2	no	—
102	#360	—	2	2	no	—
103	#360	D₄	1	4	yes	complemented
104	#357	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
105	#357	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
106	#347	—	2	4	no	—
107	#346	—	2	1	no	—
108	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
109	#340	—	2	1	no	—
110	#339	—	2	2	no	—
111	#336	D₄	1	2	yes	—
112	C₂×#41	—	2	1	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
116	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
117	#135	—	2	1	no	—
118	#135	—	2	1	no	—
119	#135	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	#135	#41	1	2	yes	—
121	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
123	C₂×D₈	—	2	2	no	—
124	C₂×D₈	—	2	2	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	—	2	2	no	—
127	C₂×D₈	—	2	2	no	—
128	C₂×D₈	—	2	2	no	—
129	C₂×D₈	—	2	2	no	—
130	C₂×D₈	—	8	1	no	—
131	C₂×D₈	—	8	1	no	—
132	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	#131	—	4	4	no	—
135	#131	—	8	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	#127	—	2	2	no	—
143	#127	—	2	2	no	—
144	#127	—	4	1	no	—
145	#127	—	4	1	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
147	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
148	C₄×D₄	—	2	1	no	—
149	C₄×D₄	—	2	1	no	—
150	C₄×D₄	—	4	4	no	—
151	C₄×D₄	—	4	1	no	—
152	C₄×D₄	—	4	1	no	—
153	C₄×D₄	—	8	2	no	—
154	C₄×D₄	—	8	4	no	—
155	#117	—	2	1	no	—
156	#117	—	4	1	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	SD₃₂	—	2	8	no	—
168	D₁₆	—	2	8	no	—
169	M₃₂	—	2	2	no	—
170	M₃₂	—	2	2	no	—
171	M₃₂	—	2	1	no	—
172	M₃₂	—	2	1	no	—
173	M₃₂	—	2	1	no	—
174	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
177	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	#108	—	2	2	no	—
179	#108	—	2	2	no	—
180	#108	—	8	1	no	—
181	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	#106	—	2	1	no	—
184	#106	—	2	1	no	—
185	#106	—	2	1	no	—
186	#106	—	2	1	no	—
187	#106	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
190	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
191	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
192	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
193	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
194	#104	—	4	4	no	—
195	#103	—	2	1	no	—
196	#103	—	2	1	no	—
197	#102	—	2	1	no	—
198	#102	—	2	1	no	—
199	#102	—	4	4	no	—
200	#102	—	8	2	no	—
201	#97	—	2	2	no	—
202	#97	—	2	2	no	—
203	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
206	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
207	#95	—	2	1	no	—
208	#95	—	4	1	no	—
209	C₂⁴	—	4	2	no	—
210	#41	—	2	2	no	—
211	#41	—	2	2	no	—
212	#41	—	4	1	no	—
213	#41	—	4	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
215	C₂×D₄	—	2	1	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	1	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	8	2	no	—
228	C₂×D₄	—	8	2	no	—
229	C₂×D₄	—	16	1	no	—
230	C₂×D₄	—	16	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
240	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	Q₁₆	—	2	1	no	—
244	Q₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	complemented
245	SD₁₆	—	2	2	no	—
246	SD₁₆	—	2	2	no	—
247	D₈	—	2	4	no	—
248	D₈	—	2	1	no	—
249	D₈	—	2	4	no	—
250	D₈	—	4	2	no	—
251	D₈	—	4	2	no	—
252	D₈	—	8	2	no	—
253	D₈	—	8	2	no	—
254	D₈	C₄×D₄	1	2	yes	complemented
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	4	2	no	—
257	M₁₆	—	8	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	2	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	4	2	no	—
264	C₂×C₈	—	8	4	no	—
265	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
273	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	4	1	no	—
291	C₄²	—	4	1	no	—
292	C₄²	—	4	1	no	—
293	C₄²	—	8	2	no	—
294	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
298	C₁₆	—	2	4	no	—
299	C₁₆	—	2	2	no	—
300	C₁₆	—	4	1	no	—
301	C₂³	—	4	1	no	—
302	C₂³	—	4	4	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	—	8	2	no	—
306	C₂³	—	8	2	no	—
307	C₂³	—	8	2	no	—
308	C₂³	—	8	2	no	—
309	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
310	Q₈	—	2	2	no	—
311	Q₈	—	4	1	no	—
312	D₄	—	2	2	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	4	1	no	—
317	D₄	—	4	4	no	—
318	D₄	—	8	4	no	—
319	D₄	—	8	2	no	—
320	D₄	—	8	4	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	16	2	no	—
323	D₄	—	16	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	1	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	8	1	no	—
336	C₂×C₄	—	8	1	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	1	no	—
339	C₂×C₄	—	8	1	no	—
340	C₂×C₄	—	8	1	no	—
341	C₂×C₄	—	16	1	no	—
342	C₂×C₄	—	16	8	no	—
343	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
353	C₈	—	2	1	no	—
354	C₈	—	2	1	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	8	2	no	—
357	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
359	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
360	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	1	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	8	1	no	—
365	C₂²	—	8	1	no	—
366	C₂²	—	8	4	no	—
367	C₂²	—	8	4	no	—
368	C₂²	—	8	4	no	—
369	C₂²	—	16	2	no	—
370	C₂²	—	16	2	no	—
371	C₂²	—	16	2	no	—
372	C₂²	—	16	2	no	—
373	C₂²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#3272	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#3366	1	1	yes	characteristic
376	C₄	—	2	1	no	—
377	C₄	—	2	1	no	—
378	C₄	—	2	1	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	8	2	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	8	1	no	—
383	C₄	—	8	1	no	—
384	C₄	—	16	1	no	—
385	C₄	AGL(1,ℤ/16)	1	2	yes	complemented
386	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2946	1	1	yes	characteristic
388	C₄	#3274	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#3373	1	1	yes	characteristic
390	C₂	—	2	1	no	—
391	C₂	—	2	1	no	—
392	C₂	—	8	2	no	—
393	C₂	—	16	4	no	—
394	C₂	#23001	1	1	yes	characteristic
395	C₂	C₂×AGL(1,ℤ/16)	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#33471	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#442
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33582	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1770 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×AGL(1,ℤ/16)	C₂	semidirect
3. #23188	C₂	semidirect
4. #22686	C₂	semidirect
5. #13213	C₂	semidirect
6. #13185	C₂	semidirect
7. #13155	C₂	semidirect
8. #13040	C₂	semidirect
9. #12956	C₂	semidirect
10. #12666	C₂	semidirect
11. C₄×#360	C₂	semidirect
19. #2207	C₄	semidirect
20. #2207	C₄	semidirect
21. #2206	C₄	semidirect
22. #2206	C₄	semidirect
56. C₂×SD₃₂	C₂×C₄	semidirect
57. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
69. C₄×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
70. C₄×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
73. C₄×D₈	C₂×C₄	semidirect
74. C₄×D₈	C₂×C₄	semidirect
98. C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
99. C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
103. #360	D₄	semidirect
104. #357	C₂×C₄	semidirect
105. #357	C₂×C₄	semidirect
244. Q₁₆	C₄×D₄	semidirect
254. D₈	C₄×D₄	semidirect
385. C₄	AGL(1,ℤ/16)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33582	2
C₂×AGL(1,ℤ/16)	2
#23188	2
#22686	2
#13213	2
#13185	2
#13155	2
#13040	2
#12956	2
#12666	2
C₄×#360	2