Subgroups — #498336

Order 512.

660 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×AGL(1,ℤ/16)	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22672	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13211	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13153	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13037	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12955	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12666	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#361	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
13	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#444	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#442	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2935	—	2	1	no	—
18	#2349	—	2	1	no	—
19	#2210	C₄	1	4	yes	complemented
20	#2208	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2206	C₄	1	2	yes	complemented
22	AGL(1,ℤ/16)	—	2	8	no	—
23	C₂×#365	C₂²	1	2	yes	—
24	#2150	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#361	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#361	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#360	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#360	C₂²	1	2	yes	—
29	#2139	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#347	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1980	—	2	1	no	—
33	#1975	C₂²	1	2	yes	—
34	#1943	C₂²	1	2	yes	—
35	#1876	—	2	2	no	—
36	#1862	—	2	2	no	—
37	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1804	—	2	1	no	—
39	C₄×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1770	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1387	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1387	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1383	C₂²	1	2	yes	—
44	#1375	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#135	—	2	1	no	—
46	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#131	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
52	#509	—	2	4	no	—
53	#509	—	2	4	no	—
54	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
56	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
59	#495	—	2	1	no	—
60	#495	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
61	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
62	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
63	#492	—	2	1	no	—
64	#444	—	2	4	no	—
65	#444	—	4	2	no	—
66	#442	—	2	4	no	—
67	#442	—	4	2	no	—
68	C₄×D₈	—	2	1	no	—
69	C₄×D₈	—	2	1	no	—
70	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₄×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
72	#436	—	4	1	no	—
73	#435	—	4	2	no	—
74	C₈×D₄	—	4	1	no	—
75	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#107	—	2	1	no	—
78	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#104	—	2	2	no	—
82	C₂×#104	—	2	2	no	—
83	C₂×#102	—	2	1	no	—
84	C₂×#102	—	2	2	no	—
85	#408	—	2	2	no	—
86	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
87	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#389	—	2	2	no	—
90	#385	—	4	2	no	—
91	#382	—	2	1	no	—
92	#380	—	4	1	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#95	—	4	1	no	—
95	#365	—	2	4	no	—
96	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
97	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
98	#361	—	2	2	no	—
99	#361	D₄	1	4	yes	complemented
100	#360	—	2	4	no	—
101	#360	—	4	2	no	—
102	#358	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
103	#357	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
104	#347	—	2	4	no	—
105	#346	—	2	1	no	—
106	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
107	#341	—	2	1	no	—
108	#340	—	2	2	no	—
109	#336	D₄	1	2	yes	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
114	#135	—	2	2	no	—
115	#135	—	2	2	no	—
116	#135	—	2	2	no	—
117	#135	—	2	2	no	—
118	#135	—	8	1	no	—
119	#135	—	8	1	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
122	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×D₈	—	2	1	no	—
125	C₂×D₈	—	2	1	no	—
126	C₂×D₈	—	2	1	no	—
127	C₂×D₈	—	2	1	no	—
128	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂×D₈	#41	1	2	yes	—
132	#131	—	4	4	no	—
133	#131	—	8	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
142	#127	—	2	1	no	—
143	#124	—	2	2	no	—
144	#121	—	4	1	no	—
145	#121	—	4	1	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	4	4	no	—
149	C₄×D₄	—	4	1	no	—
150	C₄×D₄	—	4	1	no	—
151	C₄×D₄	—	4	1	no	—
152	C₄×D₄	—	4	1	no	—
153	C₄×D₄	—	8	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	SD₃₂	—	2	8	no	—
163	D₁₆	—	2	8	no	—
164	M₃₂	—	2	2	no	—
165	M₃₂	—	2	2	no	—
166	M₃₂	—	2	1	no	—
167	M₃₂	—	2	1	no	—
168	M₃₂	—	2	1	no	—
169	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
172	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
173	#108	—	2	1	no	—
174	#108	—	2	1	no	—
175	#108	—	2	1	no	—
176	#108	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	#107	—	2	1	no	—
178	#107	—	8	1	no	—
179	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	#106	—	2	2	no	—
181	#106	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
184	#104	—	4	4	no	—
185	#104	—	8	2	no	—
186	#102	—	2	2	no	—
187	#102	—	2	2	no	—
188	#102	—	4	4	no	—
189	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
190	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
191	#97	—	2	2	no	—
192	#97	—	2	2	no	—
193	#97	—	4	1	no	—
194	C₄×C₈	—	4	1	no	—
195	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
199	#95	—	2	1	no	—
200	#95	—	4	2	no	—
201	#95	—	4	1	no	—
202	#95	—	4	1	no	—
203	C₂⁴	—	4	1	no	—
204	#41	—	4	2	no	—
205	#41	—	4	2	no	—
206	#41	—	4	2	no	—
207	#41	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	1	no	—
215	C₂×D₄	—	4	1	no	—
216	C₂×D₄	—	4	1	no	—
217	C₂×D₄	—	4	1	no	—
218	C₂×D₄	—	4	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
229	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	Q₁₆	—	2	2	no	—
233	Q₁₆	—	2	2	no	—
234	Q₁₆	—	8	1	no	—
235	SD₁₆	—	4	2	no	—
236	SD₁₆	—	4	2	no	—
237	SD₁₆	—	8	2	no	—
238	D₈	—	2	2	no	—
239	D₈	—	2	2	no	—
240	D₈	—	2	2	no	—
241	D₈	—	2	2	no	—
242	D₈	—	2	2	no	—
243	D₈	—	8	1	no	—
244	D₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
245	M₁₆	—	2	2	no	—
246	M₁₆	—	4	1	no	—
247	M₁₆	—	4	1	no	—
248	M₁₆	—	4	1	no	—
249	M₁₆	—	8	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	1	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	8	4	no	—
258	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
285	C₁₆	—	2	4	no	—
286	C₁₆	—	2	2	no	—
287	C₁₆	—	4	1	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	4	2	no	—
296	Q₈	—	4	2	no	—
297	D₄	—	2	4	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	D₄	—	4	2	no	—
302	D₄	—	4	2	no	—
303	D₄	—	8	2	no	—
304	D₄	—	8	2	no	—
305	D₄	—	8	2	no	—
306	D₄	—	16	1	no	—
307	C₂×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	1	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	16	2	no	—
321	C₂×C₄	—	16	2	no	—
322	C₂×C₄	—	16	8	no	—
323	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#442	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
333	C₈	—	2	1	no	—
334	C₈	—	2	1	no	—
335	C₈	—	4	2	no	—
336	C₈	—	4	2	no	—
337	C₈	—	8	1	no	—
338	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
340	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
341	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	1	no	—
344	C₂²	—	4	4	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	2	no	—
348	C₂²	—	8	2	no	—
349	C₂²	—	8	2	no	—
350	C₂²	—	8	2	no	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3373	1	1	yes	characteristic
355	C₄	—	2	1	no	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	1	no	—
358	C₄	—	2	1	no	—
359	C₄	—	8	2	no	—
360	C₄	—	8	2	no	—
361	C₄	—	8	2	no	—
362	C₄	—	16	2	no	—
363	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#2946	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#3366	1	1	yes	characteristic
367	C₂	—	2	1	no	—
368	C₂	—	2	1	no	—
369	C₂	—	8	4	no	—
370	C₂	—	16	2	no	—
371	C₂	#23001	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#33468	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#33471	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#442
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33580	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1770 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×AGL(1,ℤ/16)	C₂	semidirect
3. #23180	C₂	semidirect
4. #22672	C₂	semidirect
5. #13211	C₂	semidirect
6. #13184	C₂	semidirect
7. #13153	C₂	semidirect
8. #13037	C₂	semidirect
9. #12955	C₂	semidirect
10. #12666	C₂	semidirect
11. C₄×#361	C₂	semidirect
19. #2210	C₄	semidirect
20. #2208	C₄	semidirect
21. #2206	C₄	semidirect
60. #495	C₂×C₄	semidirect
61. #494	C₂×C₄	semidirect
62. #493	C₂×C₄	semidirect
96. C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
97. C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
99. #361	D₄	semidirect
102. #358	C₂×C₄	semidirect
103. #357	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33580	2
C₂×AGL(1,ℤ/16)	2
#23180	2
#22672	2
#13211	2
#13184	2
#13153	2
#13037	2
#12955	2
#12666	2
C₄×#361	2