Subgroups — #498338

Order 512.

610 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33469	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22689	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13186	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13156	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13030	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12952	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12646	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3414	C₂²	1	2	yes	—
13	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2957	—	2	1	no	—
15	#2957	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2952	C₂²	1	2	yes	—
18	#2912	—	2	1	no	—
19	#2214	C₄	1	2	yes	complemented
20	#2213	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2212	C₄	1	4	yes	complemented
22	AGL(1,ℤ/16)	—	2	4	no	—
23	#2180	—	2	4	no	—
24	C₂×#365	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2148	C₂²	1	2	yes	—
27	#2148	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2145	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#360	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#360	C₂²	1	2	yes	—
31	#2110	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1976	—	2	1	no	—
34	#1976	C₂²	1	2	yes	—
35	#1951	C₂²	1	2	yes	—
36	#1884	—	2	2	no	—
37	#1859	—	2	2	no	—
38	#1844	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1815	—	2	1	no	—
40	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1389	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1388	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1386	C₂²	1	2	yes	—
45	#1378	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×#135	—	2	1	no	—
47	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#568	—	2	2	no	—
50	C₂×#131	—	2	1	no	—
51	#532	—	2	1	no	—
52	#520	—	2	2	no	—
53	#510	—	2	2	no	—
54	#510	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	#509	—	2	2	no	—
56	#509	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	#508	—	2	4	no	—
58	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#495	—	2	1	no	—
62	#495	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
63	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
64	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
65	#492	—	2	1	no	—
66	#444	—	2	4	no	—
67	#444	—	4	2	no	—
68	#443	—	2	1	no	—
69	#443	—	2	1	no	—
70	#443	—	4	2	no	—
71	#443	—	4	2	no	—
72	#443	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#443	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#442	—	2	2	no	—
75	#441	—	2	2	no	—
76	C₄×SD₁₆	—	4	2	no	—
77	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#428	—	2	2	no	—
81	#428	—	4	2	no	—
82	#427	—	4	1	no	—
83	#427	D₄	1	1	yes	characteristic
84	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#106	—	2	1	no	—
86	C₂×#106	—	4	1	no	—
87	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
88	#421	—	2	2	no	—
89	#421	—	2	2	no	—
90	C₂×#104	—	2	1	no	—
91	#417	—	2	2	no	—
92	#410	—	2	2	no	—
93	#405	—	2	1	no	—
94	#405	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#384	—	2	1	no	—
97	#365	—	2	4	no	—
98	#364	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
99	#364	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
100	#362	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
101	#362	D₄	1	2	yes	complemented
102	#361	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
103	#361	D₄	1	2	yes	complemented
104	#360	—	2	2	no	—
105	#360	—	2	4	no	—
106	#360	—	4	2	no	—
107	#347	—	2	4	no	—
108	#346	—	2	1	no	—
109	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
110	#343	—	2	2	no	—
111	#339	—	2	1	no	—
112	#339	D₄	1	2	yes	—
113	C₂×#41	—	2	1	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	#135	—	2	2	no	—
116	#135	—	2	1	no	—
117	#135	—	2	2	no	—
118	#135	—	2	2	no	—
119	#135	—	2	1	no	—
120	#135	—	2	2	no	—
121	#135	—	4	1	no	—
122	#135	—	4	1	no	—
123	#135	—	4	1	no	—
124	#135	—	4	1	no	—
125	#135	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	#135	#41	1	2	yes	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
128	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
133	C₂×D₈	—	2	1	no	—
134	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	C₂×D₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	#131	—	2	2	no	—
137	#131	—	2	2	no	—
138	#131	—	4	4	no	—
139	#131	—	4	1	no	—
140	#131	—	4	1	no	—
141	#131	—	4	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
144	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
145	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
146	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
151	#127	—	2	1	no	—
152	#124	—	2	2	no	—
153	#121	—	8	1	no	—
154	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
155	C₄×D₄	—	4	2	no	—
156	C₄×D₄	—	8	1	no	—
157	C₄×D₄	—	8	2	no	—
158	#117	—	2	1	no	—
159	#117	—	4	2	no	—
160	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
165	Q₃₂	—	2	4	no	—
166	SD₃₂	—	2	4	no	—
167	SD₃₂	—	2	4	no	—
168	D₁₆	—	2	4	no	—
169	M₃₂	—	2	2	no	—
170	M₃₂	—	2	1	no	—
171	M₃₂	—	2	1	no	—
172	M₃₂	—	2	1	no	—
173	M₃₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
177	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
178	#108	—	2	1	no	—
179	#108	—	2	1	no	—
180	#108	—	2	1	no	—
181	#108	—	2	1	no	—
182	#108	C₂²×C₄	1	2	yes	—
183	#108	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	#107	—	2	1	no	—
185	#107	—	2	1	no	—
186	#107	—	4	2	no	—
187	#106	—	2	1	no	—
188	#106	—	2	2	no	—
189	#106	—	2	1	no	—
190	#106	—	2	2	no	—
191	#106	—	4	2	no	—
192	#106	—	4	1	no	—
193	#106	—	4	1	no	—
194	#104	—	2	2	no	—
195	#104	—	2	2	no	—
196	#104	—	4	4	no	—
197	#104	—	4	4	no	—
198	#103	—	4	2	no	—
199	#102	—	4	2	no	—
200	#99	—	8	2	no	—
201	#97	—	2	2	no	—
202	#97	—	4	1	no	—
203	C₄×C₈	—	2	2	no	—
204	C₄×C₈	—	4	1	no	—
205	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
206	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
208	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
209	#41	—	2	2	no	—
210	#41	—	2	2	no	—
211	#41	—	4	1	no	—
212	#41	—	4	1	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	#41	—	4	2	no	—
215	#41	—	4	2	no	—
216	#41	—	4	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	1	no	—
221	C₂×D₄	—	4	1	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	8	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	Q₁₆	—	2	2	no	—
231	Q₁₆	—	2	2	no	—
232	Q₁₆	—	2	1	no	—
233	Q₁₆	—	4	1	no	—
234	Q₁₆	—	4	1	no	—
235	Q₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
236	SD₁₆	—	2	2	no	—
237	SD₁₆	—	2	2	no	—
238	SD₁₆	—	4	2	no	—
239	SD₁₆	—	4	2	no	—
240	SD₁₆	—	4	2	no	—
241	SD₁₆	—	4	2	no	—
242	D₈	—	2	2	no	—
243	D₈	—	2	2	no	—
244	D₈	—	2	1	no	—
245	D₈	—	4	1	no	—
246	D₈	—	4	1	no	—
247	D₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
248	M₁₆	—	2	2	no	—
249	M₁₆	—	2	2	no	—
250	M₁₆	—	2	2	no	—
251	M₁₆	—	2	2	no	—
252	M₁₆	—	4	1	no	—
253	M₁₆	—	4	1	no	—
254	M₁₆	—	4	2	no	—
255	M₁₆	—	4	2	no	—
256	M₁₆	—	8	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	1	no	—
259	C₂×C₈	—	4	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	4	2	no	—
262	C₂×C₈	—	8	4	no	—
263	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
273	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
286	C₄²	—	2	1	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	4	1	no	—
289	C₄²	—	8	2	no	—
290	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₁₆	—	2	4	no	—
293	C₁₆	—	2	2	no	—
294	C₁₆	—	4	1	no	—
295	C₂³	—	4	1	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	#576	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	2	2	no	—
299	Q₈	—	4	1	no	—
300	Q₈	—	4	2	no	—
301	Q₈	—	4	2	no	—
302	D₄	—	2	2	no	—
303	D₄	—	4	2	no	—
304	D₄	—	4	2	no	—
305	D₄	—	4	2	no	—
306	D₄	—	4	2	no	—
307	D₄	—	4	1	no	—
308	D₄	—	8	2	no	—
309	D₄	—	8	2	no	—
310	D₄	—	16	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	1	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	16	2	no	—
324	C₂×C₄	—	32	2	no	—
325	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
331	C₈	—	4	2	no	—
332	C₈	—	4	2	no	—
333	C₈	—	4	2	no	—
334	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
335	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
336	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
337	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
338	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
340	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
341	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	—	4	1	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	16	2	no	—
347	C₂²	#2946	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3366	1	1	yes	characteristic
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	4	1	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	8	2	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	—	16	1	no	—
356	C₄	—	16	2	no	—
357	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
358	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#3373	1	1	yes	characteristic
361	C₂	—	2	1	no	—
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	8	2	no	—
365	C₂	—	16	2	no	—
366	C₂	#23001	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	#23001
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33594	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1772 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33469	C₂	semidirect
3. #23196	C₂	semidirect
4. #22689	C₂	semidirect
5. #13210	C₂	semidirect
6. #13186	C₂	semidirect
7. #13156	C₂	semidirect
8. #13030	C₂	semidirect
9. #12952	C₂	semidirect
10. #12667	C₂	semidirect
11. #12646	C₂	semidirect
19. #2214	C₄	semidirect
20. #2213	C₄	semidirect
21. #2212	C₄	semidirect
62. #495	C₂×C₄	semidirect
63. #494	C₂×C₄	semidirect
64. #493	C₂×C₄	semidirect
98. #364	C₂×C₄	semidirect
99. #364	C₂×C₄	semidirect
100. #362	C₂×C₄	semidirect
101. #362	D₄	semidirect
102. #361	C₂×C₄	semidirect
103. #361	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33594	2
#33469	2
#23196	2
#22689	2
#13210	2
#13186	2
#13156	2
#13030	2
#12952	2
#12667	2
#12646	2