Subgroups — #498342

Order 512.

630 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2213	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33471	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#22694	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13213	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13158	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13032	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12953	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12646	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#2957	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2948	—	2	1	no	—
17	#2948	C₂²	1	2	yes	—
18	#2916	—	2	1	no	—
19	#2213	C₄	1	4	yes	complemented
20	#2213	C₄	1	4	yes	complemented
21	AGL(1,ℤ/16)	—	2	8	no	—
22	#2155	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2148	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
28	#2145	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2110	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1978	—	2	1	no	—
32	#1978	C₂²	1	2	yes	—
33	#1953	C₂²	1	2	yes	—
34	#1887	—	2	2	no	—
35	#1861	—	2	2	no	—
36	#1848	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1814	—	2	1	no	—
38	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1389	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1388	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1388	C₂²	1	2	yes	—
43	#1378	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#135	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
46	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
47	#568	—	2	2	no	—
48	C₂×#131	—	2	1	no	—
49	C₂×#127	—	2	1	no	—
50	#518	—	2	2	no	—
51	#509	—	2	4	no	—
52	#509	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
54	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#493	—	2	1	no	—
59	#493	—	2	1	no	—
60	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#444	—	2	4	no	—
63	#443	—	2	1	no	—
64	#443	—	2	1	no	—
65	#443	—	4	2	no	—
66	#443	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
67	#443	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
68	#442	—	2	4	no	—
69	#442	—	4	2	no	—
70	C₄×D₈	—	4	2	no	—
71	C₄×D₈	—	4	2	no	—
72	#430	—	2	2	no	—
73	#430	—	4	2	no	—
74	C₂×#108	—	2	1	no	—
75	C₂×#108	—	4	2	no	—
76	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#427	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#423	—	2	1	no	—
83	#421	—	2	2	no	—
84	C₂×#104	—	2	1	no	—
85	#418	—	2	2	no	—
86	#418	—	2	2	no	—
87	C₂×#100	—	2	2	no	—
88	#405	—	2	1	no	—
89	#405	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#365	—	2	4	no	—
92	#364	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
93	#364	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
94	#362	—	2	1	no	—
95	#361	—	2	1	no	—
96	#361	—	2	4	no	—
97	#361	—	4	2	no	—
98	#361	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
99	#360	D₄	1	4	yes	complemented
100	#347	—	2	4	no	—
101	#346	—	2	1	no	—
102	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
103	#344	—	2	2	no	—
104	#339	—	2	1	no	—
105	#339	D₄	1	2	yes	—
106	C₂×#41	—	2	1	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	8	1	no	—
109	#135	—	2	1	no	—
110	#135	—	2	1	no	—
111	#135	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	#135	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂×Q₁₆	#41	1	1	yes	characteristic
114	C₂×SD₁₆	—	2	1	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	—	2	2	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×D₈	—	4	1	no	—
123	C₂×D₈	—	4	1	no	—
124	C₂×D₈	—	4	1	no	—
125	C₂×D₈	—	4	1	no	—
126	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
127	C₂×D₈	#41	1	1	yes	characteristic
128	#131	—	2	2	no	—
129	#131	—	2	2	no	—
130	#131	—	4	4	no	—
131	#131	—	4	1	no	—
132	#131	—	4	1	no	—
133	#131	—	8	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
138	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
143	#127	—	2	2	no	—
144	#127	—	2	2	no	—
145	#127	—	8	1	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	C₄×D₄	—	4	4	no	—
148	#117	—	2	1	no	—
149	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	SD₃₂	—	2	8	no	—
153	D₁₆	—	2	8	no	—
154	M₃₂	—	2	2	no	—
155	M₃₂	—	2	1	no	—
156	M₃₂	—	2	1	no	—
157	M₃₂	—	2	1	no	—
158	M₃₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
159	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
163	#108	—	2	1	no	—
164	#108	—	2	1	no	—
165	#108	—	2	2	no	—
166	#108	—	2	1	no	—
167	#108	—	2	1	no	—
168	#108	—	2	2	no	—
169	#108	—	2	1	no	—
170	#108	—	4	4	no	—
171	#108	—	4	1	no	—
172	#108	—	4	1	no	—
173	#108	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	#107	—	2	1	no	—
175	#107	—	2	1	no	—
176	#106	—	2	1	no	—
177	#106	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₄⋊C₈	—	8	1	no	—
179	#104	—	2	2	no	—
180	#104	—	2	2	no	—
181	#104	—	4	4	no	—
182	#102	—	4	4	no	—
183	#102	—	4	4	no	—
184	#100	—	8	2	no	—
185	#97	—	2	2	no	—
186	#97	—	4	1	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	—	4	1	no	—
189	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
191	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
192	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
193	C₂⁴	—	4	2	no	—
194	#41	—	2	2	no	—
195	#41	—	2	2	no	—
196	#41	—	4	1	no	—
197	#41	—	4	1	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	1	no	—
201	C₂×D₄	—	4	1	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	8	2	no	—
208	C₂×D₄	—	8	2	no	—
209	C₂×D₄	—	16	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	Q₁₆	—	2	1	no	—
215	Q₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
216	SD₁₆	—	2	2	no	—
217	SD₁₆	—	2	2	no	—
218	D₈	—	2	4	no	—
219	D₈	—	2	4	no	—
220	D₈	—	2	1	no	—
221	D₈	—	4	2	no	—
222	D₈	—	4	2	no	—
223	D₈	—	4	2	no	—
224	D₈	—	4	2	no	—
225	D₈	—	4	2	no	—
226	D₈	—	4	2	no	—
227	D₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
228	M₁₆	—	2	2	no	—
229	M₁₆	—	2	2	no	—
230	M₁₆	—	2	2	no	—
231	M₁₆	—	4	1	no	—
232	M₁₆	—	4	2	no	—
233	M₁₆	—	4	2	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	M₁₆	—	4	1	no	—
236	M₁₆	—	4	2	no	—
237	M₁₆	—	4	1	no	—
238	M₁₆	—	8	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	1	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	1	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	8	4	no	—
246	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	4	1	no	—
266	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₁₆	—	2	4	no	—
269	C₁₆	—	2	2	no	—
270	C₁₆	—	4	1	no	—
271	C₂³	—	4	1	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	16	4	no	—
276	C₂³	#577	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	2	2	no	—
278	Q₈	—	4	1	no	—
279	D₄	—	2	2	no	—
280	D₄	—	4	2	no	—
281	D₄	—	4	2	no	—
282	D₄	—	4	1	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	8	2	no	—
286	D₄	—	8	2	no	—
287	D₄	—	16	4	no	—
288	D₄	—	16	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂×C₄	—	32	4	no	—
298	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
304	C₈	—	4	2	no	—
305	C₈	—	4	2	no	—
306	C₈	—	8	1	no	—
307	C₈	—	8	2	no	—
308	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
309	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
310	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
311	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
312	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
314	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
315	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	—	4	1	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	—	8	4	no	—
319	C₂²	—	16	1	no	—
320	C₂²	—	16	4	no	—
321	C₂²	—	16	4	no	—
322	C₂²	—	32	2	no	—
323	C₂²	#2946	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#3272	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#3373	1	1	yes	characteristic
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	4	1	no	—
328	C₄	—	4	2	no	—
329	C₄	—	8	2	no	—
330	C₄	—	8	2	no	—
331	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
332	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#3274	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#3366	1	1	yes	characteristic
335	C₂	—	2	1	no	—
336	C₂	—	2	1	no	—
337	C₂	—	2	1	no	—
338	C₂	—	8	2	no	—
339	C₂	—	16	4	no	—
340	C₂	#23001	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	#23001
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2213	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1772 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33471	C₂	semidirect
3. #23201	C₂	semidirect
4. #22694	C₂	semidirect
5. #13213	C₂	semidirect
6. #13188	C₂	semidirect
7. #13158	C₂	semidirect
8. #13032	C₂	semidirect
9. #12953	C₂	semidirect
10. #12667	C₂	semidirect
11. #12646	C₂	semidirect
19. #2213	C₄	semidirect
20. #2213	C₄	semidirect
52. #509	C₂×C₄	semidirect
66. #443	C₂×C₄	semidirect
67. #443	C₂×C₄	semidirect
92. #364	C₂×C₄	semidirect
93. #364	C₂×C₄	semidirect
98. #361	C₂×C₄	semidirect
99. #360	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2213	2
#33471	2
#23201	2
#22694	2
#13213	2
#13188	2
#13158	2
#13032	2
#12953	2
#12667	2
#12646	2