Subgroups — #498346

Order 512.

618 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33604	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#23018	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13134	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12990	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12939	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12670	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12612	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3050	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
16	#2933	—	2	2	no	—
17	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
18	#2220	C₄	1	2	yes	complemented
19	#2220	C₄	1	2	yes	complemented
20	#2219	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2218	C₄	1	2	yes	complemented
22	#2179	—	2	4	no	—
23	#2161	—	2	4	no	—
24	C₂×#368	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2158	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	—
30	#2138	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1974	C₂²	1	2	yes	—
35	#1945	C₂²	1	2	yes	—
36	#1929	—	2	2	no	—
37	#1871	—	2	2	no	—
38	#1866	—	2	2	no	—
39	#1772	C₂²	1	2	yes	—
40	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1382	C₂²	1	2	yes	—
42	#1382	C₂²	1	2	yes	—
43	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#131	—	2	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#525	—	2	2	no	—
50	#508	—	2	2	no	—
51	#508	—	2	2	no	—
52	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
56	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
57	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×M₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#467	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#467	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#466	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	#466	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	#465	—	2	2	no	—
68	#465	—	2	2	no	—
69	#443	—	2	4	no	—
70	#443	—	4	2	no	—
71	#436	—	4	2	no	—
72	#435	—	4	2	no	—
73	#435	—	4	2	no	—
74	C₈×D₄	—	4	2	no	—
75	C₂×#108	—	2	4	no	—
76	C₂×#108	—	2	2	no	—
77	C₂×#108	—	4	2	no	—
78	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
80	#427	C₂³	1	2	yes	—
81	#424	—	2	2	no	—
82	C₂×#104	—	2	2	no	—
83	C₂×#104	—	2	2	no	—
84	#416	—	2	2	no	—
85	#408	—	2	2	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
87	#405	—	2	2	no	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
91	#368	—	2	2	no	—
92	#368	—	2	4	no	—
93	#368	D₄	1	4	yes	complemented
94	#367	C₂×C₄	1	2	yes	—
95	#366	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
96	#366	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	#359	—	2	4	no	—
98	#359	—	4	2	no	—
99	#358	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#358	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
102	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
103	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
104	#346	—	2	2	no	—
105	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
106	#339	—	2	2	no	—
107	#339	—	2	2	no	—
108	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
109	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	#135	—	2	2	no	—
113	#135	—	2	2	no	—
114	#135	—	2	2	no	—
115	#135	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	#131	—	4	4	no	—
120	#131	—	8	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
133	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	#123	—	4	2	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	#121	—	2	2	no	—
143	#121	—	2	2	no	—
144	#120	—	4	2	no	—
145	C₄×D₄	—	4	2	no	—
146	C₄×D₄	—	4	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	Q₃₂	—	2	2	no	—
152	SD₃₂	—	2	4	no	—
153	D₁₆	—	2	2	no	—
154	M₃₂	—	2	4	no	—
155	M₃₂	—	2	4	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
164	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
169	#108	—	2	2	no	—
170	#108	—	2	2	no	—
171	#108	—	2	2	no	—
172	#108	—	4	4	no	—
173	#108	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	#106	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
179	#104	—	4	4	no	—
180	#104	—	8	2	no	—
181	#103	—	2	2	no	—
182	#103	—	2	2	no	—
183	#102	—	2	2	no	—
184	#102	—	2	2	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
187	C₂²⋊C₈	D₈	1	2	yes	—
188	C₂²⋊C₈	D₈	1	2	yes	—
189	#97	—	4	2	no	—
190	C₄×C₈	—	2	1	no	—
191	C₄×C₈	—	2	1	no	—
192	C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	4	2	no	—
195	#95	—	2	1	no	—
196	C₂⁴	#135	1	1	yes	characteristic
197	#41	—	4	2	no	—
198	#41	—	4	2	no	—
199	#41	—	4	2	no	—
200	#41	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
213	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	Q₁₆	—	2	2	no	—
218	Q₁₆	—	2	2	no	—
219	SD₁₆	—	4	2	no	—
220	SD₁₆	—	4	2	no	—
221	D₈	—	2	2	no	—
222	D₈	—	2	2	no	—
223	M₁₆	—	2	4	no	—
224	M₁₆	—	4	2	no	—
225	M₁₆	—	4	2	no	—
226	M₁₆	—	4	2	no	—
227	M₁₆	—	8	4	no	—
228	M₁₆	—	8	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	2	no	—
241	C₂×C₈	—	8	4	no	—
242	C₂×C₈	—	8	4	no	—
243	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄²	—	2	1	no	—
264	C₄²	—	2	1	no	—
265	C₄²	—	2	1	no	—
266	C₄²	—	2	1	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₁₆	—	2	2	no	—
269	C₁₆	—	4	1	no	—
270	C₁₆	—	4	1	no	—
271	C₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
272	C₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	4	1	no	—
276	C₂³	—	4	1	no	—
277	C₂³	—	4	2	no	—
278	C₂³	C₄×D₈	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	4	2	no	—
281	Q₈	—	4	2	no	—
282	D₄	—	4	2	no	—
283	D₄	—	4	2	no	—
284	D₄	—	8	4	no	—
285	D₄	—	8	2	no	—
286	D₄	—	8	2	no	—
287	D₄	—	16	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
312	C₈	—	2	1	no	—
313	C₈	—	2	1	no	—
314	C₈	—	2	2	no	—
315	C₈	—	2	2	no	—
316	C₈	—	4	4	no	—
317	C₈	—	8	2	no	—
318	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
320	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
321	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	1	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	8	1	no	—
328	C₂²	—	8	1	no	—
329	C₂²	—	8	2	no	—
330	C₂²	—	8	2	no	—
331	C₂²	—	8	2	no	—
332	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#3285	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#3339	1	1	yes	characteristic
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	4	2	no	—
337	C₄	—	8	1	no	—
338	C₄	—	8	2	no	—
339	C₄	—	8	2	no	—
340	C₄	—	8	2	no	—
341	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#2951	1	1	yes	characteristic
343	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#3334	1	1	yes	characteristic
345	C₂	—	2	1	no	—
346	C₂	—	2	1	no	—
347	C₂	—	4	2	no	—
348	C₂	—	16	2	no	—
349	C₂	#23025	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#33463	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#33464	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₈
prime radical	#33604	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₂²⋊C₈ ◁ C₈×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2179	C₂	semidirect
3. C₂×#2161	C₂	semidirect
4. #23018	C₂	semidirect
5. #13241	C₂	semidirect
6. #13170	C₂	semidirect
7. #13134	C₂	semidirect
8. #12990	C₂	semidirect
9. #12939	C₂	semidirect
10. #12670	C₂	semidirect
11. #12612	C₂	semidirect
18. #2220	C₄	semidirect
19. #2220	C₄	semidirect
20. #2219	C₄	semidirect
21. #2218	C₄	semidirect
93. #368	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33604	2
C₂×#2179	2
C₂×#2161	2
#23018	2
#13241	2
#13170	2
#13134	2
#12990	2
#12939	2
#12670	2
#12612	2