Subgroups — #498349

Order 512.

706 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2215	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×D₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2158	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#23027	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13131	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12992	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12937	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₄×#366	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
17	#2363	—	2	2	no	—
18	#2215	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₄×D₁₆	—	2	4	no	—
20	#2158	—	2	4	no	—
21	C₂×#367	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1970	C₂²	1	2	yes	—
32	#1942	C₂²	1	2	yes	—
33	#1926	—	2	2	no	—
34	#1875	—	2	2	no	—
35	#1864	—	2	2	no	—
36	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
37	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1380	C₂²	1	2	yes	—
39	#1380	C₂²	1	2	yes	—
40	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#121	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	—	2	2	no	—
47	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#466	—	2	4	no	—
58	#466	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	C₄×D₈	—	2	4	no	—
60	C₄×D₈	—	4	2	no	—
61	#427	—	2	4	no	—
62	#427	—	4	2	no	—
63	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#106	—	2	2	no	—
67	C₂×#102	—	2	2	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#390	—	2	2	no	—
74	#390	—	4	2	no	—
75	#389	—	2	2	no	—
76	#388	—	4	2	no	—
77	#386	—	4	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#367	—	2	4	no	—
82	#366	—	2	2	no	—
83	#366	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
84	#366	D₄	1	4	yes	complemented
85	#357	—	2	4	no	—
86	#357	—	4	2	no	—
87	#357	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
88	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
89	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
91	#340	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	2	no	—
93	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
94	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×D₈	—	2	2	no	—
100	C₂×D₈	—	2	2	no	—
101	C₂×D₈	—	2	2	no	—
102	C₂×D₈	—	2	2	no	—
103	C₂×D₈	—	2	2	no	—
104	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	#121	—	2	8	no	—
116	#121	—	4	4	no	—
117	C₄×D₄	—	4	4	no	—
118	C₄×D₄	—	8	2	no	—
119	#117	—	4	4	no	—
120	#117	—	8	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	D₁₆	—	2	8	no	—
137	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
140	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
146	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
150	#107	—	2	2	no	—
151	#107	—	2	2	no	—
152	#107	—	2	2	no	—
153	#107	—	2	2	no	—
154	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	#106	—	4	4	no	—
157	#102	—	2	8	no	—
158	#102	—	4	4	no	—
159	#102	—	8	2	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
161	C₄×C₈	—	2	1	no	—
162	C₄×C₈	—	2	1	no	—
163	C₄×C₈	—	2	1	no	—
164	C₄×C₈	—	2	1	no	—
165	#95	—	4	2	no	—
166	#95	—	4	2	no	—
167	#95	D₈	1	1	yes	characteristic
168	#95	D₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂⁴	—	4	2	no	—
170	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	4	8	no	—
173	C₂×D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×D₄	—	4	2	no	—
176	C₂×D₄	—	4	2	no	—
177	C₂×D₄	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	16	2	no	—
179	C₂×D₄	—	16	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
190	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
198	D₈	—	2	4	no	—
199	D₈	—	2	4	no	—
200	D₈	—	4	2	no	—
201	D₈	—	4	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	2	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	1	no	—
211	C₂×C₈	—	2	1	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
235	C₄²	—	2	1	no	—
236	C₄²	—	2	1	no	—
237	C₄²	—	2	1	no	—
238	C₄²	—	2	1	no	—
239	C₄²	—	8	4	no	—
240	C₄²	—	16	2	no	—
241	C₁₆	—	2	2	no	—
242	C₁₆	—	4	1	no	—
243	C₁₆	—	4	1	no	—
244	C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
245	C₂³	—	2	1	no	—
246	C₂³	—	2	1	no	—
247	C₂³	—	2	1	no	—
248	C₂³	—	2	1	no	—
249	C₂³	—	2	1	no	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	8	2	no	—
253	C₂³	—	8	2	no	—
254	C₂³	—	8	2	no	—
255	C₂³	—	8	2	no	—
256	C₂³	—	8	2	no	—
257	C₂³	—	8	2	no	—
258	C₂³	C₄×D₈	1	2	yes	—
259	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
260	D₄	—	4	4	no	—
261	D₄	—	4	4	no	—
262	D₄	—	8	2	no	—
263	D₄	—	8	2	no	—
264	D₄	—	16	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	2	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	—	8	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂×C₄	—	8	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	2	no	—
290	C₂×C₄	—	16	8	no	—
291	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
300	C₈	—	2	2	no	—
301	C₈	—	4	1	no	—
302	C₈	—	4	1	no	—
303	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
305	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
306	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	4	1	no	—
311	C₂²	—	4	1	no	—
312	C₂²	—	4	1	no	—
313	C₂²	—	4	1	no	—
314	C₂²	—	8	4	no	—
315	C₂²	—	8	4	no	—
316	C₂²	—	8	4	no	—
317	C₂²	—	16	2	no	—
318	C₂²	—	16	2	no	—
319	C₂²	—	16	2	no	—
320	C₂²	—	16	2	no	—
321	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#3334	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	2	no	—
331	C₄	—	4	1	no	—
332	C₄	—	4	1	no	—
333	C₄	—	8	4	no	—
334	C₄	—	8	4	no	—
335	C₄	—	16	2	no	—
336	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
337	C₄	#2951	1	1	yes	characteristic
338	C₄	#3285	1	1	yes	characteristic
339	C₄	#3339	1	1	yes	characteristic
340	C₂	—	4	2	no	—
341	C₂	—	16	4	no	—
342	C₂	#23025	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₄×#508	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#33456	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#33846	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#33853	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#33906	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#33908	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2215	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×D₁₆	C₂	semidirect
3. C₂×#2158	C₂	semidirect
4. #23027	C₂	semidirect
5. #13235	C₂	semidirect
6. #13165	C₂	semidirect
7. #13131	C₂	semidirect
8. #12992	C₂	semidirect
9. #12937	C₂	semidirect
10. C₄×#366	C₂	semidirect
11. C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
18. #2215	C₄	semidirect
52. C₂²×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
58. #466	C₂×C₄	semidirect
83. #366	C₂×C₄	semidirect
84. #366	D₄	semidirect
87. #357	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2215	2
C₂×C₄×D₁₆	2
C₂×#2158	2
#23027	2
#13235	2
#13165	2
#13131	2
#12992	2
#12937	2
C₄×#366	2
C₁₆×C₂²⋊C₄	2