Subgroups — #498357

Order 512.

700 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 329 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2215	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2177	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2158	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#23027	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13130	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12992	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12935	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12674	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12611	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
17	#2363	—	2	2	no	—
18	#2215	C₄	1	8	yes	complemented
19	#2177	—	2	4	no	—
20	#2158	—	2	4	no	—
21	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1970	C₂²	1	2	yes	—
32	#1942	C₂²	1	2	yes	—
33	#1926	—	2	2	no	—
34	#1875	—	2	2	no	—
35	#1864	—	2	2	no	—
36	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
37	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1380	C₂²	1	2	yes	—
39	#1380	C₂²	1	2	yes	—
40	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×#121	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×#117	—	2	2	no	—
47	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#466	—	2	4	no	—
58	#466	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
59	C₄×D₈	—	2	4	no	—
60	C₄×D₈	—	4	2	no	—
61	#427	—	2	4	no	—
62	#427	—	4	2	no	—
63	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#106	—	2	2	no	—
67	C₂×#102	—	2	2	no	—
68	C₂×#102	—	2	2	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#390	—	2	2	no	—
74	#390	—	4	2	no	—
75	#389	—	2	2	no	—
76	#388	—	4	2	no	—
77	#386	—	4	2	no	—
78	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
79	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
80	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
81	#367	—	2	2	no	—
82	#367	D₄	1	4	yes	complemented
83	#366	—	2	4	no	—
84	#366	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
85	#357	—	2	4	no	—
86	#357	—	4	2	no	—
87	#357	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
88	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
89	#346	—	2	2	no	—
90	#346	—	2	2	no	—
91	#340	—	2	2	no	—
92	#340	—	2	2	no	—
93	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
94	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
97	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂×D₈	—	2	2	no	—
100	C₂×D₈	—	2	2	no	—
101	C₂×D₈	—	2	2	no	—
102	C₂×D₈	—	2	2	no	—
103	C₂×D₈	—	2	2	no	—
104	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
115	#121	—	2	8	no	—
116	#121	—	4	4	no	—
117	C₄×D₄	—	4	4	no	—
118	C₄×D₄	—	8	2	no	—
119	#117	—	4	4	no	—
120	#117	—	8	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	D₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
140	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
149	#107	—	2	2	no	—
150	#107	—	2	2	no	—
151	#107	—	2	2	no	—
152	#107	—	2	2	no	—
153	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
154	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	#106	—	4	4	no	—
156	#102	—	2	8	no	—
157	#102	—	4	4	no	—
158	#102	—	8	2	no	—
159	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	1	no	—
161	C₄×C₈	—	2	1	no	—
162	C₄×C₈	—	2	1	no	—
163	C₄×C₈	—	2	1	no	—
164	#95	—	4	2	no	—
165	#95	—	4	2	no	—
166	#95	D₈	1	2	yes	—
167	C₂⁴	—	4	2	no	—
168	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	4	8	no	—
171	C₂×D₄	—	4	2	no	—
172	C₂×D₄	—	4	2	no	—
173	C₂×D₄	—	4	2	no	—
174	C₂×D₄	—	4	2	no	—
175	C₂×D₄	—	4	2	no	—
176	C₂×D₄	—	16	2	no	—
177	C₂×D₄	—	16	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
188	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
194	D₈	—	2	4	no	—
195	D₈	—	2	4	no	—
196	D₈	—	4	2	no	—
197	D₈	—	4	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	2	no	—
203	C₂×C₈	—	2	2	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	1	no	—
206	C₂×C₈	—	2	1	no	—
207	C₂×C₈	—	2	1	no	—
208	C₂×C₈	—	2	1	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
230	C₄²	—	2	1	no	—
231	C₄²	—	2	1	no	—
232	C₄²	—	2	1	no	—
233	C₄²	—	2	1	no	—
234	C₄²	—	8	4	no	—
235	C₄²	—	16	2	no	—
236	C₁₆	—	2	2	no	—
237	C₁₆	—	4	1	no	—
238	C₁₆	—	4	1	no	—
239	C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
240	C₂³	—	2	1	no	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	1	no	—
244	C₂³	—	4	4	no	—
245	C₂³	—	8	2	no	—
246	C₂³	—	8	2	no	—
247	C₂³	—	8	2	no	—
248	C₂³	—	8	2	no	—
249	C₂³	—	8	2	no	—
250	C₂³	—	8	2	no	—
251	C₂³	C₄×D₈	1	2	yes	—
252	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
253	D₄	—	4	4	no	—
254	D₄	—	4	4	no	—
255	D₄	—	8	2	no	—
256	D₄	—	8	2	no	—
257	D₄	—	16	8	no	—
258	C₂×C₄	—	2	1	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	8	2	no	—
273	C₂×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂×C₄	—	8	2	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	8	2	no	—
277	C₂×C₄	—	8	2	no	—
278	C₂×C₄	—	8	2	no	—
279	C₂×C₄	—	16	8	no	—
280	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
287	C₈	—	2	2	no	—
288	C₈	—	4	1	no	—
289	C₈	—	4	1	no	—
290	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₈	#520	1	1	yes	characteristic
292	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
293	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	—	2	2	no	—
295	C₂²	—	2	2	no	—
296	C₂²	—	2	2	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	—	8	4	no	—
300	C₂²	—	8	4	no	—
301	C₂²	—	8	4	no	—
302	C₂²	—	16	2	no	—
303	C₂²	—	16	2	no	—
304	C₂²	—	16	2	no	—
305	C₂²	—	16	2	no	—
306	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	#3334	1	1	yes	characteristic
309	C₂²	#3414	1	2	yes	—
310	C₂²	#3415	1	2	yes	—
311	C₄	—	2	2	no	—
312	C₄	—	4	2	no	—
313	C₄	—	4	2	no	—
314	C₄	—	8	4	no	—
315	C₄	—	8	4	no	—
316	C₄	—	16	2	no	—
317	C₄	#2361	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#2951	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#3285	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#3339	1	1	yes	characteristic
321	C₂	—	4	2	no	—
322	C₂	—	16	4	no	—
323	C₂	#23025	1	1	yes	characteristic
324	C₂	#33451	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#33456	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#33834	1	2	yes	—
327	C₂	#33914	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2215	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2177	C₂	semidirect
3. C₂×#2158	C₂	semidirect
4. #23027	C₂	semidirect
5. #13239	C₂	semidirect
6. #13168	C₂	semidirect
7. #13130	C₂	semidirect
8. #12992	C₂	semidirect
9. #12935	C₂	semidirect
10. #12674	C₂	semidirect
11. #12611	C₂	semidirect
18. #2215	C₄	semidirect
52. C₂²×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
58. #466	C₂×C₄	semidirect
82. #367	D₄	semidirect
84. #366	C₂×C₄	semidirect
87. #357	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2215	2
C₂×#2177	2
C₂×#2158	2
#23027	2
#13239	2
#13168	2
#13130	2
#12992	2
#12935	2
#12674	2
#12611	2