Subgroups — #498381

Order 512.

592 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×Q₈×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2162	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₈×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13263	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13159	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13120	C₂	1	2	yes	maximal
7	#13120	C₂	1	2	yes	maximal
8	#13104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₄×C₂²⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
15	Q₈×C₁₆	—	2	4	no	—
16	#2162	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	#1984	C₄	1	1	yes	characteristic
30	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
31	#1916	C₄	1	2	yes	—
32	#1850	C₄	1	2	yes	—
33	#1797	C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1374	C₂²	1	2	yes	—
39	#1374	C₂²	1	2	yes	—
40	#1374	C₂²	1	2	yes	—
41	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1374	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₂²⋊Q₈	C₈	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
55	C₈×Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#391	C₈	1	1	yes	characteristic
70	#389	C₈	1	1	yes	characteristic
71	#387	C₈	1	2	yes	—
72	#385	C₈	1	2	yes	—
73	#380	C₈	1	1	yes	characteristic
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
78	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
79	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄⋊C₁₆	D₄	1	4	yes	—
81	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
83	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
84	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
85	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
86	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
87	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
89	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂²⋊Q₈	C₁₆	1	8	yes	complemented
114	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
133	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
140	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
149	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
150	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
152	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
155	C₄×C₈	—	2	2	no	—
156	C₄×C₈	—	2	1	no	—
157	C₄×C₈	—	2	2	no	—
158	C₄×C₈	—	2	2	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	2	1	no	—
161	C₄×C₈	—	2	2	no	—
162	C₄×C₈	—	2	2	no	—
163	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
165	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
166	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
167	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
168	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
169	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
170	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
171	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
185	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	2	1	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	2	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	2	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	4	4	no	—
210	C₂×C₈	—	4	1	no	—
211	C₂×C₈	—	4	1	no	—
212	C₂×C₈	—	4	1	no	—
213	C₂×C₈	—	4	1	no	—
214	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
227	C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	—
230	C₄²	—	2	1	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	1	no	—
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
239	C₄²	#131	1	2	yes	—
240	C₁₆	—	2	4	no	—
241	C₁₆	—	2	2	no	—
242	C₁₆	—	2	2	no	—
243	C₁₆	—	4	1	no	—
244	C₁₆	—	4	2	no	—
245	C₁₆	—	4	1	no	—
246	C₂³	—	2	1	no	—
247	C₂³	—	2	1	no	—
248	C₂³	—	2	1	no	—
249	C₂³	—	2	1	no	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
253	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
254	Q₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	#519	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
294	C₈	—	2	2	no	—
295	C₈	—	2	2	no	—
296	C₈	—	4	1	no	—
297	C₈	—	4	2	no	—
298	C₈	—	4	2	no	—
299	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
300	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
301	C₈	#552	1	1	yes	characteristic
302	C₈	#556	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	4	1	no	—
307	C₂²	—	4	1	no	—
308	C₂²	—	4	1	no	—
309	C₂²	—	4	1	no	—
310	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	#2982	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	4	no	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	4	1	no	—
323	C₄	—	4	2	no	—
324	C₄	—	4	2	no	—
325	C₄	D₄×C₁₆	1	4	yes	—
326	C₄	#2362	1	1	yes	characteristic
327	C₄	#2933	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#2969	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#2986	1	1	yes	characteristic
330	C₂	—	4	2	no	—
331	C₂	#23050	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂×D₄×C₁₆	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#33436	1	1	yes	characteristic
334	C₂	C₁₆×#41	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#33483	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#33496	1	1	yes	characteristic
337	C₂	#33500	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂⁴	C₂²×C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×Q₈×C₁₆	C₂	semidirect
4. #13263	C₂	semidirect
5. #13159	C₂	semidirect
8. #13104	C₂	semidirect
9. C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
10. C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
113. C₂²⋊Q₈	C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×Q₈×C₁₆	2
C₂×#2162	2
C₈×C₂²⋊Q₈	2
#13263	2
#13159	2
#13120	2
#13104	2
C₁₆×C₄⋊C₄	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2