Subgroups — #498439

Order 512.

516 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#21545	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13201	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13197	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13164	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13127	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12989	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12618	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12602	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3407	C₂²	1	2	yes	—
13	#3050	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2930	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2171	—	2	2	no	—
18	#2170	—	2	2	no	—
19	#2166	—	2	2	no	—
20	#2166	—	2	2	no	—
21	#2153	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2117	C₂²	1	2	yes	—
25	#2117	C₂²	1	2	yes	—
26	#2115	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#349	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#349	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#349	C₂²	1	2	yes	—
30	#2110	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#347	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1974	C₄	1	1	yes	characteristic
35	#1945	C₄	1	1	yes	characteristic
36	#1938	C₄	1	2	yes	—
37	#1897	C₄	1	2	yes	—
38	#1810	C₄	1	1	yes	characteristic
39	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1765	C₂²	1	2	yes	—
41	#1378	C₂²	1	2	yes	—
42	#1378	C₂²	1	2	yes	—
43	#1377	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1377	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	#525	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#117	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	#504	—	2	4	no	—
52	#504	—	2	4	no	—
53	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
54	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#467	—	2	1	no	—
61	#466	—	2	1	no	—
62	#465	—	2	2	no	—
63	#443	—	2	1	no	—
64	#443	—	2	1	no	—
65	#443	—	2	1	no	—
66	#443	—	2	1	no	—
67	#436	—	4	2	no	—
68	#435	—	4	2	no	—
69	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	#427	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
72	#424	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#416	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#407	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	#405	—	2	1	no	—
79	#405	—	2	1	no	—
80	#405	—	2	1	no	—
81	#405	—	2	1	no	—
82	#405	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#364	—	2	1	no	—
88	#364	—	2	1	no	—
89	#364	—	4	2	no	—
90	#364	D₄	1	2	yes	complemented
91	#364	D₄	1	2	yes	complemented
92	#350	—	2	4	no	—
93	#350	—	2	4	no	—
94	#349	—	2	4	no	—
95	#349	—	2	2	no	—
96	#349	—	2	2	no	—
97	#349	—	4	2	no	—
98	#347	—	2	4	no	—
99	#347	—	4	2	no	—
100	#346	—	2	1	no	—
101	#346	—	2	1	no	—
102	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
103	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
104	#341	C₂×C₄	1	2	yes	—
105	#339	C₂×C₄	1	2	yes	—
106	#339	C₂×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	#135	—	2	1	no	—
110	#135	—	2	1	no	—
111	#135	—	2	1	no	—
112	#135	—	2	1	no	—
113	C₂×Q₁₆	M₁₆	1	1	yes	characteristic
114	C₂×SD₁₆	M₁₆	1	2	yes	—
115	C₂×D₈	M₁₆	1	1	yes	characteristic
116	#131	—	2	2	no	—
117	#131	—	2	2	no	—
118	#131	—	2	2	no	—
119	#131	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	#123	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	#121	—	2	2	no	—
143	#120	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	4	2	no	—
145	#117	—	2	1	no	—
146	#117	—	2	1	no	—
147	#117	—	4	1	no	—
148	#117	C₂²×C₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	M₃₂	—	2	1	no	—
154	M₃₂	—	2	2	no	—
155	M₃₂	—	2	1	no	—
156	M₃₂	—	2	2	no	—
157	M₃₂	—	2	1	no	—
158	M₃₂	—	2	1	no	—
159	M₃₂	—	2	1	no	—
160	M₃₂	—	2	2	no	—
161	M₃₂	—	2	1	no	—
162	M₃₂	—	4	4	no	—
163	M₃₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	M₃₂	#41	1	2	yes	—
165	M₃₂	#41	1	2	yes	—
166	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
167	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
168	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
169	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
170	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
172	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
173	#108	—	2	1	no	—
174	#108	—	2	1	no	—
175	#108	—	2	1	no	—
176	#108	—	2	1	no	—
177	#107	—	2	1	no	—
178	#106	—	2	1	no	—
179	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
180	#104	—	2	2	no	—
181	#104	—	2	2	no	—
182	#104	—	4	2	no	—
183	#103	—	2	2	no	—
184	#102	—	2	2	no	—
185	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
186	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
187	#97	—	2	1	no	—
188	#97	—	2	1	no	—
189	#97	—	2	2	no	—
190	#97	—	2	1	no	—
191	#97	—	2	1	no	—
192	C₄×C₈	—	2	1	no	—
193	C₄×C₈	—	2	1	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂⁴	#131	1	1	yes	characteristic
200	#41	—	2	2	no	—
201	#41	—	2	2	no	—
202	#41	—	2	2	no	—
203	#41	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	Q₁₆	—	2	1	no	—
220	Q₁₆	—	2	1	no	—
221	SD₁₆	—	2	2	no	—
222	SD₁₆	—	2	2	no	—
223	D₈	—	2	1	no	—
224	D₈	—	2	1	no	—
225	M₁₆	—	2	2	no	—
226	M₁₆	—	2	2	no	—
227	M₁₆	—	2	2	no	—
228	M₁₆	—	2	2	no	—
229	M₁₆	—	4	1	no	—
230	M₁₆	—	4	1	no	—
231	M₁₆	—	4	2	no	—
232	M₁₆	—	4	1	no	—
233	M₁₆	—	4	1	no	—
234	M₁₆	—	4	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	2	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	1	no	—
246	C₂×C₈	—	4	1	no	—
247	C₂×C₈	—	4	1	no	—
248	C₂×C₈	—	4	1	no	—
249	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	C₂×M₁₆	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	#131	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	#131	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄²	—	2	1	no	—
271	C₄²	—	2	1	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	1	no	—
274	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₁₆	—	2	2	no	—
277	C₁₆	—	2	4	no	—
278	C₁₆	—	2	2	no	—
279	C₁₆	—	4	1	no	—
280	C₁₆	—	4	2	no	—
281	C₁₆	—	4	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	8	1	no	—
287	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
288	Q₈	—	2	2	no	—
289	Q₈	—	2	2	no	—
290	D₄	—	2	2	no	—
291	D₄	—	2	2	no	—
292	D₄	—	4	2	no	—
293	D₄	—	4	2	no	—
294	D₄	—	16	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	4	1	no	—
304	C₂×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂×C₄	—	4	1	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	1	no	—
310	C₂×C₄	—	8	1	no	—
311	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
317	C₈	—	4	1	no	—
318	C₈	—	4	2	no	—
319	C₈	—	4	1	no	—
320	C₈	—	4	2	no	—
321	C₈	#435	1	1	yes	characteristic
322	C₈	#435	1	1	yes	characteristic
323	C₈	#435	1	1	yes	characteristic
324	C₈	#435	1	1	yes	characteristic
325	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
326	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
327	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
328	C₈	#555	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	—	4	1	no	—
330	C₂²	—	4	1	no	—
331	C₂²	—	4	1	no	—
332	C₂²	—	4	1	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	—	8	1	no	—
336	C₂²	—	8	1	no	—
337	C₂²	#2933	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#2966	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#2974	1	1	yes	characteristic
340	C₄	—	4	1	no	—
341	C₄	—	4	1	no	—
342	C₄	—	4	1	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	8	1	no	—
345	C₄	—	8	2	no	—
346	C₄	#2363	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂×#435	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#2970	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#2981	1	1	yes	characteristic
350	C₂	—	2	1	no	—
351	C₂	—	2	1	no	—
352	C₂	—	2	1	no	—
353	C₂	—	8	1	no	—
354	C₂	—	8	2	no	—
355	C₂	#23084	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2363
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂	#23084
prime radical	#3050	C₄
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33443	C₂	semidirect
2. C₂×#2166	C₂	semidirect
4. #13201	C₂	semidirect
5. #13197	C₂	semidirect
6. #13164	C₂	semidirect
7. #13127	C₂	semidirect
8. #12989	C₂	semidirect
9. #12667	C₂	semidirect
10. #12618	C₂	semidirect
11. #12602	C₂	semidirect
90. #364	D₄	semidirect
91. #364	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33443	2
C₂×#2166	2
#21545	2
#13201	2
#13197	2
#13164	2
#13127	2
#12989	2
#12667	2
#12618	2
#12602	2