Subgroups — #498441

Order 512.

698 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23185	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#22807	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13235	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13202	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13176	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13130	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13012	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₄×#357	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2366	—	2	1	no	—
17	#2354	—	2	1	no	—
18	#2206	C₄	1	8	yes	complemented
19	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	#1982	—	2	1	no	—
29	#1970	C₂²	1	2	yes	—
30	#1970	C₂²	1	2	yes	—
31	#1925	—	2	2	no	—
32	#1879	—	2	2	no	—
33	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1802	—	2	1	no	—
35	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
36	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1380	C₂²	1	2	yes	—
41	#1374	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
43	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#127	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
49	C₂×#117	—	4	1	no	—
50	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
51	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
52	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#493	—	2	2	no	—
57	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₄×D₈	—	2	4	no	—
59	C₄×D₈	—	2	2	no	—
60	C₄×D₈	—	4	2	no	—
61	C₄×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
62	C₂×#107	—	2	1	no	—
63	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#102	—	2	1	no	—
69	C₂×#102	—	2	2	no	—
70	C₂×#102	—	2	2	no	—
71	C₂×#102	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	#390	—	2	2	no	—
75	#390	—	2	2	no	—
76	#390	—	4	1	no	—
77	#388	—	4	2	no	—
78	#386	—	4	2	no	—
79	#384	—	2	1	no	—
80	#380	—	4	1	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
84	#366	—	4	2	no	—
85	C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
86	#357	—	2	4	no	—
87	#357	—	2	2	no	—
88	#357	—	2	2	no	—
89	#357	—	4	2	no	—
90	#357	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
91	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄×C₁₆	—	4	2	no	—
93	#340	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	1	no	—
95	#336	D₄	1	2	yes	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
98	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂×D₈	—	2	4	no	—
103	C₂×D₈	—	2	2	no	—
104	C₂×D₈	—	2	1	no	—
105	C₂×D₈	—	2	1	no	—
106	C₂×D₈	—	2	2	no	—
107	C₂×D₈	—	2	1	no	—
108	C₂×D₈	—	2	2	no	—
109	C₂×D₈	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	2	2	no	—
111	C₂×D₈	—	2	1	no	—
112	C₂×D₈	—	2	1	no	—
113	C₂×D₈	—	8	1	no	—
114	C₂×D₈	—	8	1	no	—
115	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#127	—	2	4	no	—
121	#127	—	4	2	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	4	4	no	—
124	C₄×D₄	—	4	2	no	—
125	C₄×D₄	—	8	2	no	—
126	C₄×D₄	—	8	4	no	—
127	#117	—	8	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	D₁₆	—	4	8	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
154	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
156	#107	—	2	1	no	—
157	#107	—	2	1	no	—
158	#107	—	2	2	no	—
159	#107	—	2	1	no	—
160	#107	—	2	2	no	—
161	#107	—	2	1	no	—
162	#107	—	8	1	no	—
163	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
164	#107	#41	1	2	yes	—
165	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
166	#102	—	2	4	no	—
167	#102	—	4	4	no	—
168	#102	—	8	2	no	—
169	#102	—	8	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	2	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
173	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
174	#95	—	4	2	no	—
175	#95	—	4	1	no	—
176	#95	D₈	1	2	yes	—
177	C₂⁴	—	4	1	no	—
178	C₂⁴	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	—	2	2	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	1	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	1	no	—
185	C₂×D₄	—	4	1	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	1	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	1	no	—
191	C₂×D₄	—	4	4	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	8	2	no	—
194	C₂×D₄	—	8	2	no	—
195	C₂×D₄	—	16	1	no	—
196	C₂×D₄	—	16	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	D₈	—	2	2	no	—
213	D₈	—	2	4	no	—
214	D₈	—	2	2	no	—
215	D₈	—	2	4	no	—
216	D₈	—	4	1	no	—
217	D₈	—	4	2	no	—
218	D₈	—	4	1	no	—
219	D₈	—	4	2	no	—
220	D₈	—	8	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	16	1	no	—
244	C₄⋊C₄	D₁₆	1	4	yes	complemented
245	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	8	4	no	—
254	C₄²	—	8	2	no	—
255	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
256	C₄²	#135	1	2	yes	—
257	C₁₆	—	2	4	no	—
258	C₁₆	—	2	2	no	—
259	C₁₆	—	4	1	no	—
260	C₂³	—	4	2	no	—
261	C₂³	—	4	4	no	—
262	C₂³	—	8	1	no	—
263	C₂³	—	8	2	no	—
264	C₂³	—	8	1	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	—	8	1	no	—
267	C₂³	—	8	2	no	—
268	C₂³	—	8	1	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	1	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	1	no	—
274	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
275	D₄	—	4	2	no	—
276	D₄	—	4	4	no	—
277	D₄	—	4	4	no	—
278	D₄	—	4	2	no	—
279	D₄	—	8	1	no	—
280	D₄	—	8	2	no	—
281	D₄	—	8	8	no	—
282	D₄	—	8	2	no	—
283	D₄	—	8	1	no	—
284	D₄	—	16	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	1	no	—
295	C₂×C₄	—	8	1	no	—
296	C₂×C₄	—	8	1	no	—
297	C₂×C₄	—	8	1	no	—
298	C₂×C₄	—	8	8	no	—
299	C₂×C₄	—	8	1	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	1	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	1	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	16	8	no	—
306	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	4	2	no	—
319	C₈	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
320	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
321	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
322	C₈	#555	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	—	8	2	no	—
325	C₂²	—	8	2	no	—
326	C₂²	—	8	4	no	—
327	C₂²	—	8	4	no	—
328	C₂²	—	8	2	no	—
329	C₂²	—	16	2	no	—
330	C₂²	—	16	1	no	—
331	C₂²	—	16	1	no	—
332	C₂²	—	16	2	no	—
333	C₂²	—	16	1	no	—
334	C₂²	—	16	2	no	—
335	C₂²	—	16	1	no	—
336	C₂²	—	16	2	no	—
337	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#3294	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#3391	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂²×D₁₆	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#3416	1	1	yes	characteristic
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	8	2	no	—
348	C₄	—	8	2	no	—
349	C₄	—	16	1	no	—
350	C₄	—	16	2	no	—
351	C₄	C₄×D₁₆	1	4	yes	—
352	C₄	#2363	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#2946	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#3305	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#3394	1	1	yes	characteristic
356	C₂	—	16	2	no	—
357	C₂	—	16	4	no	—
358	C₂	#23093	1	1	yes	characteristic
359	C₂	C₂×C₄×D₁₆	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#33454	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#33861	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#33872	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#33958	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#33961	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2206	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ C₈×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23185	C₂	semidirect
3. #22807	C₂	semidirect
4. #13235	C₂	semidirect
5. #13202	C₂	semidirect
6. #13176	C₂	semidirect
7. #13130	C₂	semidirect
8. #13012	C₂	semidirect
9. C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
10. C₄×#357	C₂	semidirect
11. C₄×#357	C₂	semidirect
18. #2206	C₄	semidirect
52. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
61. C₄×D₈	C₂×C₄	semidirect
85. C₄⋊C₁₆	C₂×C₄	semidirect
90. #357	C₂×C₄	semidirect
244. C₄⋊C₄	D₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2206	2
#23185	2
#22807	2
#13235	2
#13202	2
#13176	2
#13130	2
#13012	2
C₁₆×C₄⋊C₄	2
C₄×#357	2