Subgroups — #498471

Order 512.

718 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₈×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#13120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#12976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#1374	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₄×#121	C₄	1	1	yes	characteristic
16	D₄×C₁₆	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	#1954	C₄	1	1	yes	characteristic
26	#1939	C₄	1	1	yes	characteristic
27	#1923	C₄	1	2	yes	—
28	#1869	C₄	1	2	yes	—
29	#1797	C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	#1374	C₂²	1	2	yes	—
33	#1374	C₂²	1	2	yes	—
34	#1374	C₂²	1	2	yes	—
35	#1374	C₂²	1	2	yes	—
36	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#121	C₈	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
50	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₈×D₄	—	2	4	no	—
56	C₈×D₄	—	2	4	no	—
57	C₈×D₄	—	4	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
71	#390	C₈	1	1	yes	characteristic
72	#389	C₈	1	1	yes	characteristic
73	#388	C₈	1	2	yes	—
74	#386	C₈	1	2	yes	—
75	#380	C₈	1	1	yes	characteristic
76	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
79	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
83	C₂²⋊C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
84	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
85	C₄×C₁₆	—	4	2	no	—
86	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
106	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	#121	C₁₆	1	8	yes	complemented
115	C₄×D₄	—	2	4	no	—
116	C₄×D₄	—	2	4	no	—
117	C₄×D₄	—	4	1	no	—
118	C₄×D₄	—	4	1	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
129	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
130	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×C₁₆	—	4	8	no	—
147	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	—
149	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
150	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
151	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
152	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
156	C₄×C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	—	2	2	no	—
158	C₄×C₈	—	2	2	no	—
159	C₄×C₈	—	2	2	no	—
160	C₄×C₈	—	4	1	no	—
161	C₄×C₈	—	4	1	no	—
162	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
163	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
164	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
165	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	1	no	—
170	C₂×D₄	—	4	1	no	—
171	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
172	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
173	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
188	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
189	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	#131	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂×C₈	—	2	4	no	—
206	C₂×C₈	—	2	2	no	—
207	C₂×C₈	—	2	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	1	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	4	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
229	C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
235	C₄²	—	2	2	no	—
236	C₄²	—	2	1	no	—
237	C₄²	—	2	1	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	—	2	1	no	—
240	C₄²	—	2	1	no	—
241	C₄²	—	4	1	no	—
242	C₄²	—	4	1	no	—
243	C₁₆	—	2	4	no	—
244	C₁₆	—	2	4	no	—
245	C₁₆	—	4	2	no	—
246	C₁₆	—	4	2	no	—
247	C₂³	—	2	1	no	—
248	C₂³	—	2	1	no	—
249	C₂³	—	2	1	no	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	2	2	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	2	no	—
257	C₂³	C₈×D₄	1	2	yes	—
258	C₂³	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
260	C₂³	#504	1	2	yes	—
261	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
262	D₄	—	2	16	no	—
263	D₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂×C₄	—	4	2	no	—
293	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₄	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
304	C₈	—	2	2	no	—
305	C₈	—	2	2	no	—
306	C₈	—	4	2	no	—
307	C₈	—	4	2	no	—
308	C₈	—	4	1	no	—
309	C₈	#546	1	2	yes	—
310	C₈	#553	1	2	yes	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	2	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	4	no	—
318	C₂²	—	2	4	no	—
319	C₂²	—	2	4	no	—
320	C₂²	—	4	2	no	—
321	C₂²	—	4	2	no	—
322	C₂²	—	4	2	no	—
323	C₂²	—	4	2	no	—
324	C₂²	D₄×C₁₆	1	4	yes	—
325	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₈×#41	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	4	2	no	—
339	C₄	—	4	1	no	—
340	C₄	#2364	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#2968	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#2977	1	1	yes	characteristic
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	—	4	4	no	—
346	C₂	#23116	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂×D₄×C₁₆	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#33438	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₁₆×#41	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#33482	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#33486	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#33491	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂×#121	C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
3. #13120	C₂	semidirect
4. #13104	C₂	semidirect
5. #12976	C₂	semidirect
6. #12976	C₂	semidirect
7. C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
8. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
9. C₂×#1374	C₂	semidirect
83. C₂²⋊C₁₆	D₄	semidirect
114. #121	C₁₆	semidirect
171. C₂×D₄	C₂×C₁₆	semidirect
172. C₂×D₄	C₂×C₁₆	semidirect
188. C₂²×C₄	C₂×C₁₆	semidirect
229. C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect
234. C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×C₁₆	2
C₈×#121	2
#13120	2
#13104	2
#12976	2
C₁₆×C₂²⋊C₄	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2
C₂×#1374	2