Subgroups — #498484

Order 512.

720 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 290 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2215	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23025	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13147	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13109	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13012	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12991	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#1380	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
15	#2361	—	2	2	no	—
16	#2215	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	#1970	C₂²	1	2	yes	—
24	#1942	C₂²	1	2	yes	—
25	#1925	—	2	2	no	—
26	#1874	—	2	2	no	—
27	#1862	—	2	2	no	—
28	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
29	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1380	C₂²	1	2	yes	—
31	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1380	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1380	C₂²	1	2	yes	—
34	#1380	C₂²	1	2	yes	—
35	#1374	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#121	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
42	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
43	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
44	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
45	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
46	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#466	—	2	4	no	—
50	#466	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
51	C₄×D₈	—	2	4	no	—
52	C₄×D₈	—	4	2	no	—
53	C₂×#107	—	2	4	no	—
54	C₂×#107	—	2	2	no	—
55	C₂×#107	—	4	2	no	—
56	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#102	—	2	2	no	—
60	C₂×#102	—	2	2	no	—
61	C₂×#102	—	2	2	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
64	#390	—	2	2	no	—
65	#389	—	2	2	no	—
66	#388	—	4	2	no	—
67	#386	—	4	2	no	—
68	#385	—	4	2	no	—
69	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
71	#366	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
72	#357	—	2	4	no	—
73	#357	—	4	2	no	—
74	#357	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
75	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
76	C₄×C₁₆	—	4	2	no	—
77	#340	—	2	2	no	—
78	#340	—	2	2	no	—
79	#336	D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
81	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
82	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
83	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
84	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×D₈	—	2	2	no	—
86	C₂×D₈	—	2	2	no	—
87	C₂×D₈	—	2	2	no	—
88	C₂×D₈	—	2	2	no	—
89	C₂×D₈	—	2	2	no	—
90	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	#121	—	2	8	no	—
99	#121	—	4	4	no	—
100	C₄×D₄	—	4	4	no	—
101	C₄×D₄	—	8	2	no	—
102	C₄×D₄	—	8	8	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
117	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	D₁₆	—	4	4	no	—
119	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
126	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	#107	—	2	2	no	—
128	#107	—	2	2	no	—
129	#107	—	2	2	no	—
130	#107	—	2	2	no	—
131	#107	—	4	4	no	—
132	#107	C₂²×C₄	1	4	yes	—
133	#107	#41	1	4	yes	—
134	#102	—	2	8	no	—
135	#102	—	4	4	no	—
136	#102	—	8	2	no	—
137	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
138	C₄×C₈	—	2	2	no	—
139	C₄×C₈	—	2	2	no	—
140	#95	—	4	2	no	—
141	#95	—	4	2	no	—
142	#95	D₈	1	2	yes	—
143	C₂⁴	—	4	2	no	—
144	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	4	8	no	—
147	C₂×D₄	—	4	2	no	—
148	C₂×D₄	—	4	2	no	—
149	C₂×D₄	—	4	2	no	—
150	C₂×D₄	—	4	2	no	—
151	C₂×D₄	—	4	2	no	—
152	C₂×D₄	—	8	4	no	—
153	C₂×D₄	—	8	4	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
162	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
163	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
165	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
171	D₈	—	2	4	no	—
172	D₈	—	2	4	no	—
173	D₈	—	4	2	no	—
174	D₈	—	4	2	no	—
175	C₂×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂×C₈	—	2	2	no	—
178	C₂×C₈	—	2	4	no	—
179	C₂×C₈	—	2	2	no	—
180	C₂×C₈	—	2	2	no	—
181	C₂×C₈	—	2	2	no	—
182	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
185	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
191	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
193	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
200	C₂²⋊C₄	D₁₆	1	4	yes	complemented
201	C₄²	—	2	2	no	—
202	C₄²	—	2	2	no	—
203	C₄²	—	8	4	no	—
204	C₁₆	—	2	2	no	—
205	C₁₆	—	2	2	no	—
206	C₁₆	—	4	2	no	—
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	2	2	no	—
209	C₂³	—	4	4	no	—
210	C₂³	—	8	2	no	—
211	C₂³	—	8	2	no	—
212	C₂³	—	8	2	no	—
213	C₂³	—	8	2	no	—
214	C₂³	—	8	2	no	—
215	C₂³	—	8	2	no	—
216	C₂³	C₄×D₈	1	2	yes	—
217	C₂³	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
218	C₂³	#508	1	2	yes	—
219	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
220	D₄	—	4	4	no	—
221	D₄	—	4	4	no	—
222	D₄	—	8	16	no	—
223	D₄	—	8	2	no	—
224	D₄	—	8	2	no	—
225	C₂×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂×C₄	—	8	2	no	—
237	C₂×C₄	—	8	2	no	—
238	C₂×C₄	—	8	2	no	—
239	C₂×C₄	—	8	2	no	—
240	C₂×C₄	—	8	2	no	—
241	C₂×C₄	—	8	2	no	—
242	C₂×C₄	—	8	2	no	—
243	C₂×C₄	—	16	8	no	—
244	C₂×C₄	—	16	8	no	—
245	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
246	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	4	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
251	C₈	—	2	2	no	—
252	C₈	—	4	2	no	—
253	C₈	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
255	C₈	#553	1	2	yes	—
256	C₂²	—	2	4	no	—
257	C₂²	—	2	4	no	—
258	C₂²	—	2	2	no	—
259	C₂²	—	2	2	no	—
260	C₂²	—	8	4	no	—
261	C₂²	—	8	4	no	—
262	C₂²	—	8	4	no	—
263	C₂²	—	16	2	no	—
264	C₂²	—	16	2	no	—
265	C₂²	—	16	2	no	—
266	C₂²	—	16	2	no	—
267	C₂²	C₄×D₁₆	1	4	yes	—
268	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
269	C₂²	#3294	1	2	yes	—
270	C₂²	C₂²×D₁₆	1	1	yes	characteristic
271	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	#3416	1	2	yes	—
273	C₄	—	2	4	no	—
274	C₄	—	2	2	no	—
275	C₄	—	4	2	no	—
276	C₄	—	8	4	no	—
277	C₄	—	8	4	no	—
278	C₄	—	16	2	no	—
279	C₄	#2364	1	1	yes	characteristic
280	C₄	#2952	1	1	yes	characteristic
281	C₄	#3301	1	2	yes	—
282	C₂	—	2	4	no	—
283	C₂	—	16	4	no	—
284	C₂	#23127	1	1	yes	characteristic
285	C₂	C₂×C₄×D₁₆	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#33460	1	1	yes	characteristic
287	C₂	#33861	1	2	yes	—
288	C₂	#33868	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2215	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23025	C₂	semidirect
3. #13147	C₂	semidirect
4. #13109	C₂	semidirect
5. #13012	C₂	semidirect
6. #12991	C₂	semidirect
7. C₄×#357	C₂	semidirect
8. C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
9. C₂×#1380	C₂	semidirect
16. #2215	C₄	semidirect
43. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
45. C₂²×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
50. #466	C₂×C₄	semidirect
71. #366	C₂×C₄	semidirect
74. #357	C₂×C₄	semidirect
200. C₂²⋊C₄	D₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2215	2
#23025	2
#13147	2
#13109	2
#13012	2
#12991	2
C₄×#357	2
C₁₆×C₂²⋊C₄	2
C₂×#1380	2