Subgroups — #498497

Order 512.

585 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33600	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23018	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13152	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13113	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13011	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12990	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12642	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12611	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#1381	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3050	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
14	#2933	—	2	2	no	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	#2217	C₄	1	2	yes	complemented
17	#2217	C₄	1	2	yes	complemented
18	#2216	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#2216	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#2215	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#2215	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
22	#2158	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	—
25	#2138	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
28	#1974	C₂²	1	2	yes	—
29	#1945	C₂²	1	2	yes	—
30	#1929	—	2	2	no	—
31	#1871	—	2	2	no	—
32	#1866	—	2	2	no	—
33	#1772	C₂²	1	2	yes	—
34	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1382	C₂²	1	2	yes	—
36	#1382	C₂²	1	2	yes	—
37	#1381	C₂²	1	2	yes	—
38	#1381	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1381	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1374	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#131	—	2	2	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	#525	—	2	2	no	—
46	#508	—	4	2	no	—
47	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₁₆	—	4	2	no	—
51	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#467	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	#467	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	#466	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#466	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#465	—	2	2	no	—
63	#465	—	2	2	no	—
64	#443	—	2	4	no	—
65	#443	—	4	2	no	—
66	#436	—	4	2	no	—
67	#435	—	4	2	no	—
68	#435	—	4	2	no	—
69	C₈×D₄	—	4	2	no	—
70	C₂×#108	—	2	4	no	—
71	C₂×#108	—	2	2	no	—
72	C₂×#108	—	4	2	no	—
73	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
75	#427	C₂³	1	2	yes	—
76	#424	—	2	2	no	—
77	C₂×#104	—	2	2	no	—
78	C₂×#104	—	2	2	no	—
79	#416	—	2	2	no	—
80	#408	—	2	2	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
82	#405	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
85	#367	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	#366	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
87	#366	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	#359	—	2	4	no	—
89	#359	—	4	2	no	—
90	#358	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#358	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	#357	C₂×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
95	C₂²⋊C₁₆	—	2	1	no	—
96	#346	—	4	2	no	—
97	#339	—	2	2	no	—
98	#339	—	2	2	no	—
99	#336	D₄	1	2	yes	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	#135	—	2	2	no	—
103	#135	—	2	2	no	—
104	#135	—	2	2	no	—
105	#135	—	2	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	#131	—	4	4	no	—
110	#131	—	8	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	#123	—	4	2	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	#121	—	2	2	no	—
132	#121	—	2	2	no	—
133	#120	—	4	2	no	—
134	C₄×D₄	—	4	2	no	—
135	C₄×D₄	—	4	2	no	—
136	#117	—	2	2	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	Q₃₂	—	4	1	no	—
140	SD₃₂	—	4	2	no	—
141	D₁₆	—	4	1	no	—
142	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×C₁₆	—	4	1	no	—
148	C₂×C₁₆	—	4	1	no	—
149	C₂×C₁₆	—	4	1	no	—
150	C₂×C₁₆	—	4	1	no	—
151	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
155	#108	—	2	2	no	—
156	#108	—	2	2	no	—
157	#108	—	2	2	no	—
158	#108	—	4	4	no	—
159	#108	#41	1	4	yes	—
160	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	#107	C₂²×C₄	1	2	yes	—
162	#106	—	2	2	no	—
163	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
164	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
165	#104	—	4	4	no	—
166	#104	—	8	2	no	—
167	#103	—	2	2	no	—
168	#103	—	2	2	no	—
169	#102	—	2	2	no	—
170	#102	—	2	2	no	—
171	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
172	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
173	C₂²⋊C₈	D₈	1	2	yes	—
174	C₂²⋊C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
175	C₂²⋊C₈	D₈	1	1	yes	characteristic
176	#97	—	4	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	2	no	—
178	C₄×C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	4	2	no	—
180	#95	—	2	1	no	—
181	C₂⁴	#135	1	1	yes	characteristic
182	#41	—	4	2	no	—
183	#41	—	4	2	no	—
184	#41	—	4	2	no	—
185	#41	—	4	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	Q₁₆	—	2	2	no	—
202	Q₁₆	—	2	2	no	—
203	SD₁₆	—	4	2	no	—
204	SD₁₆	—	4	2	no	—
205	D₈	—	2	2	no	—
206	D₈	—	2	2	no	—
207	M₁₆	—	2	4	no	—
208	M₁₆	—	4	2	no	—
209	M₁₆	—	4	2	no	—
210	M₁₆	—	4	2	no	—
211	M₁₆	—	8	4	no	—
212	M₁₆	—	8	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	2	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	2	1	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	2	no	—
222	C₂×C₈	—	4	2	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	8	4	no	—
225	C₂×C₈	—	8	4	no	—
226	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₁₆	—	2	1	no	—
248	C₁₆	—	2	1	no	—
249	C₁₆	—	2	1	no	—
250	C₁₆	—	2	1	no	—
251	C₁₆	—	4	2	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	2	no	—
254	C₂³	—	4	1	no	—
255	C₂³	—	4	2	no	—
256	C₂³	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
258	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	4	2	no	—
260	Q₈	—	4	2	no	—
261	D₄	—	4	2	no	—
262	D₄	—	4	2	no	—
263	D₄	—	8	4	no	—
264	D₄	—	8	2	no	—
265	D₄	—	8	2	no	—
266	D₄	—	16	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#577	1	2	yes	—
288	C₈	—	2	1	no	—
289	C₈	—	2	1	no	—
290	C₈	—	2	2	no	—
291	C₈	—	2	2	no	—
292	C₈	—	4	4	no	—
293	C₈	—	8	2	no	—
294	C₈	C₄×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
296	C₈	#553	1	2	yes	—
297	C₂²	—	2	1	no	—
298	C₂²	—	2	1	no	—
299	C₂²	—	2	1	no	—
300	C₂²	—	2	1	no	—
301	C₂²	—	2	1	no	—
302	C₂²	—	2	1	no	—
303	C₂²	—	2	1	no	—
304	C₂²	—	4	4	no	—
305	C₂²	—	8	2	no	—
306	C₂²	—	8	2	no	—
307	C₂²	—	8	2	no	—
308	C₂²	#2179	1	2	yes	—
309	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	#3301	1	2	yes	—
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	2	1	no	—
313	C₄	—	8	2	no	—
314	C₄	—	8	2	no	—
315	C₄	—	8	2	no	—
316	C₄	—	8	2	no	—
317	C₄	#2364	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#2952	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#3294	1	2	yes	—
320	C₂	—	2	2	no	—
321	C₂	—	2	2	no	—
322	C₂	—	4	1	no	—
323	C₂	—	16	2	no	—
324	C₂	#23127	1	1	yes	characteristic
325	C₂	C₂×#2179	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#33465	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₈
prime radical	#33600	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₂²⋊C₈ ◁ C₈×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23018	C₂	semidirect
3. #13152	C₂	semidirect
4. #13113	C₂	semidirect
5. #13011	C₂	semidirect
6. #12990	C₂	semidirect
7. #12642	C₂	semidirect
8. #12611	C₂	semidirect
9. C₂×#1381	C₂	semidirect
16. #2217	C₄	semidirect
17. #2217	C₄	semidirect
18. #2216	C₄	semidirect
19. #2216	C₄	semidirect
20. #2215	C₄	semidirect
21. #2215	C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33600	2
#23018	2
#13152	2
#13113	2
#13011	2
#12990	2
#12642	2
#12611	2
C₂×#1381	2