Subgroups — #498549

Order 512.

652 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33438	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21708	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#13196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13193	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12980	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12980	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12656	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12654	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#504	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#504	C₂²	1	2	yes	—
14	#3150	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#443	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
18	#2931	C₂²	1	2	yes	—
19	#2171	—	2	4	no	—
20	#2170	—	2	4	no	—
21	#2169	—	2	2	no	—
22	#2168	—	2	2	no	—
23	#2168	—	2	2	no	—
24	D₄×C₁₆	—	2	2	no	—
25	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#350	C₂²	1	2	yes	—
33	#2113	C₂²	1	2	yes	—
34	#2113	C₂²	1	2	yes	—
35	C₄×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#1975	C₄	1	1	yes	characteristic
39	#1975	C₄	1	1	yes	characteristic
40	#1975	C₄	1	2	yes	—
41	#1963	C₄	1	2	yes	—
42	#1849	C₄	1	1	yes	characteristic
43	#1726	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1376	C₂²	1	2	yes	—
45	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#135	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#135	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#131	C₂³	1	2	yes	—
52	#532	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	#504	—	2	4	no	—
54	#504	—	2	4	no	—
55	#504	—	4	2	no	—
56	#504	—	4	2	no	—
57	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
58	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
59	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#497	C₈	1	2	yes	—
68	#497	C₈	1	2	yes	—
69	#496	C₈	1	2	yes	—
70	#496	C₈	1	2	yes	—
71	#443	—	2	2	no	—
72	#443	—	2	2	no	—
73	#443	—	2	2	no	—
74	#443	—	2	2	no	—
75	#443	—	4	2	no	—
76	#443	—	4	2	no	—
77	#436	—	2	2	no	—
78	#436	—	2	2	no	—
79	C₈×D₄	—	2	2	no	—
80	C₈×D₄	—	2	2	no	—
81	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#108	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#108	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	C₂×#104	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#408	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#97	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#376	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	#364	—	2	2	no	—
99	#364	D₄	1	4	yes	complemented
100	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₁₆	D₄	1	2	yes	—
102	C₄⋊C₁₆	D₄	1	2	yes	—
103	#350	—	2	4	no	—
104	#350	—	2	4	no	—
105	#350	—	4	2	no	—
106	#350	—	4	2	no	—
107	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
111	#346	—	2	2	no	—
112	#346	—	2	2	no	—
113	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
114	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
116	C₂×#41	C₂²×C₄	1	2	yes	—
117	#135	—	2	2	no	—
118	#135	—	2	2	no	—
119	#135	—	2	2	no	—
120	#135	—	2	2	no	—
121	#135	—	4	2	no	—
122	#135	—	4	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂×Q₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
126	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
127	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
128	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
129	C₂×SD₁₆	C₂×C₈	1	2	yes	—
130	C₂×D₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×D₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×D₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
133	#131	—	2	2	no	—
134	#131	—	2	2	no	—
135	#131	—	2	2	no	—
136	#131	—	2	2	no	—
137	#131	—	2	2	no	—
138	#131	—	2	2	no	—
139	#131	—	2	2	no	—
140	#131	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	C₄⋊Q₈	C₂×C₈	1	2	yes	—
152	#127	C₂×C₈	1	2	yes	—
153	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
154	#124	C₂×C₈	1	2	yes	—
155	#121	—	2	2	no	—
156	#121	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	M₃₂	—	2	2	no	—
163	M₃₂	—	2	2	no	—
164	M₃₂	—	2	2	no	—
165	M₃₂	—	4	4	no	—
166	M₃₂	—	4	4	no	—
167	M₃₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
169	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
170	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
172	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
173	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
174	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
175	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
177	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
178	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
179	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
180	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
181	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
182	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	#108	—	2	2	no	—
186	#108	—	2	2	no	—
187	#108	—	4	2	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
190	#104	—	2	4	no	—
191	#104	—	2	4	no	—
192	#104	—	4	2	no	—
193	#104	—	4	2	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
198	#97	—	2	2	no	—
199	#97	—	4	1	no	—
200	#97	C₂×C₈	1	2	yes	—
201	#97	C₂×C₈	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	—	2	1	no	—
203	C₄×C₈	—	2	1	no	—
204	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
207	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
208	#95	—	2	1	no	—
209	#95	—	2	1	no	—
210	#41	—	2	2	no	—
211	#41	—	2	2	no	—
212	#41	—	2	2	no	—
213	#41	—	2	2	no	—
214	#41	—	2	2	no	—
215	#41	—	2	2	no	—
216	#41	—	2	2	no	—
217	#41	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
219	C₂×Q₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	2	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
225	C₂×D₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
230	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	#131	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
233	Q₁₆	—	2	2	no	—
234	Q₁₆	—	2	2	no	—
235	Q₁₆	—	4	2	no	—
236	SD₁₆	—	2	4	no	—
237	SD₁₆	—	2	4	no	—
238	SD₁₆	—	4	2	no	—
239	SD₁₆	—	4	2	no	—
240	D₈	—	2	2	no	—
241	D₈	—	2	2	no	—
242	D₈	—	4	2	no	—
243	M₁₆	—	2	2	no	—
244	M₁₆	—	2	2	no	—
245	M₁₆	—	2	2	no	—
246	M₁₆	—	2	2	no	—
247	M₁₆	—	4	2	no	—
248	M₁₆	—	4	2	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	1	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	#131	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	1	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
283	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
284	C₄²	C₂²×C₈	1	2	yes	—
285	C₁₆	—	2	1	no	—
286	C₁₆	—	2	2	no	—
287	C₁₆	—	2	1	no	—
288	C₁₆	—	2	4	no	—
289	C₁₆	—	4	1	no	—
290	C₁₆	—	4	1	no	—
291	C₁₆	—	4	2	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	2	2	no	—
296	Q₈	—	2	2	no	—
297	Q₈	—	2	2	no	—
298	Q₈	—	2	2	no	—
299	D₄	—	2	2	no	—
300	D₄	—	2	2	no	—
301	D₄	—	2	2	no	—
302	D₄	—	2	2	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	4	2	no	—
305	D₄	—	4	2	no	—
306	D₄	—	4	2	no	—
307	D₄	—	4	2	no	—
308	D₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	1	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₈×D₄	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	—	2	2	no	—
333	C₈	—	4	2	no	—
334	C₈	—	4	2	no	—
335	C₈	C₈×D₄	1	2	yes	—
336	C₈	C₈×D₄	1	2	yes	—
337	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
338	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
339	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
340	C₈	#559	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	—	2	1	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	4	2	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2935	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2979	1	1	yes	characteristic
352	C₄	—	2	2	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	4	2	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	—	8	1	no	—
358	C₄	#2366	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#2935	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#2972	1	1	yes	characteristic
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	8	2	no	—
365	C₂	—	8	2	no	—
366	C₂	#23173	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#33441	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#33442	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₈	C₂²×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂³×C₈
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₈×D₄
prime radical	#3150	C₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ C₂×C₄⋊C₁₆ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2171	C₂	semidirect
2. C₂×#2170	C₂	semidirect
3. #33438	C₂	semidirect
5. #13196	C₂	semidirect
6. #13195	C₂	semidirect
7. #13193	C₂	semidirect
8. #12980	C₂	semidirect
9. #12980	C₂	semidirect
10. #12656	C₂	semidirect
11. #12654	C₂	semidirect
99. #364	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2171	2
C₂×#2170	2
#33438	2
#21708	2
#13196	2
#13195	2
#13193	2
#12980	2
#12656	2
#12654	2