Subgroups — #498554

Order 512.

660 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33716	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2179	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2178	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#23179	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13251	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13242	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13241	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13011	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13011	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12676	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#508	C₂²	1	2	yes	—
15	#3147	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
18	#2935	—	2	2	no	—
19	#2251	C₄	1	2	yes	complemented
20	#2251	C₄	1	2	yes	complemented
21	#2250	C₄	1	2	yes	complemented
22	#2250	C₄	1	2	yes	complemented
23	#2179	—	2	4	no	—
24	#2178	—	2	4	no	—
25	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1980	—	2	2	no	—
36	#1974	C₂²	1	2	yes	—
37	#1974	C₂²	1	2	yes	—
38	#1876	—	2	2	no	—
39	#1876	—	2	2	no	—
40	C₄×#108	C₂²	1	2	yes	—
41	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1381	C₂²	1	2	yes	—
43	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×#135	—	2	2	no	—
46	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#131	—	2	2	no	—
49	C₂×#131	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#508	—	2	2	no	—
52	#508	—	2	2	no	—
53	#508	—	2	2	no	—
54	#508	—	2	2	no	—
55	#508	—	4	2	no	—
56	#508	—	4	2	no	—
57	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#495	—	2	2	no	—
72	#495	C₂×C₄	1	2	yes	—
73	#495	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	#494	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#492	—	2	2	no	—
77	#443	—	2	4	no	—
78	#443	—	2	4	no	—
79	#443	—	4	2	no	—
80	#443	—	4	2	no	—
81	#436	—	4	2	no	—
82	#435	—	4	2	no	—
83	#435	—	4	2	no	—
84	C₈×D₄	—	4	2	no	—
85	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×#104	—	2	2	no	—
89	C₂×#104	—	2	2	no	—
90	C₂×#104	—	2	2	no	—
91	C₂×#104	—	2	2	no	—
92	#408	—	2	2	no	—
93	#408	—	2	2	no	—
94	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
99	#368	—	2	2	no	—
100	#368	D₄	1	4	yes	complemented
101	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
102	#359	—	2	4	no	—
103	#359	—	2	4	no	—
104	#359	—	4	2	no	—
105	#359	—	4	2	no	—
106	#346	—	2	2	no	—
107	#346	C₂×C₄	1	2	yes	—
108	#346	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
110	#341	—	2	2	no	—
111	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
112	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	#135	—	2	2	no	—
116	#135	—	2	2	no	—
117	#135	—	2	2	no	—
118	#135	—	2	2	no	—
119	#135	—	2	2	no	—
120	#135	—	2	2	no	—
121	#135	—	2	2	no	—
122	#135	—	2	2	no	—
123	#135	—	8	2	no	—
124	#135	—	8	2	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
135	#131	—	4	4	no	—
136	#131	—	4	4	no	—
137	#131	—	8	2	no	—
138	#131	—	8	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#124	—	2	2	no	—
152	#124	—	2	2	no	—
153	#121	—	4	2	no	—
154	#121	—	4	2	no	—
155	C₄×D₄	—	4	2	no	—
156	C₄×D₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	Q₃₂	—	2	2	no	—
162	Q₃₂	—	2	2	no	—
163	Q₃₂	—	4	2	no	—
164	SD₃₂	—	2	4	no	—
165	SD₃₂	—	2	4	no	—
166	SD₃₂	—	4	2	no	—
167	SD₃₂	—	4	2	no	—
168	D₁₆	—	2	2	no	—
169	D₁₆	—	2	2	no	—
170	D₁₆	—	4	2	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
172	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
173	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
174	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
175	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
176	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
177	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
178	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
179	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
184	#108	—	2	2	no	—
185	#108	—	2	2	no	—
186	#108	—	2	2	no	—
187	#108	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₄⋊C₈	D₈	1	2	yes	—
189	C₄⋊C₈	D₈	1	2	yes	—
190	#104	—	4	4	no	—
191	#104	—	4	4	no	—
192	#104	—	8	2	no	—
193	#104	—	8	2	no	—
194	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
198	#97	—	4	2	no	—
199	C₄×C₈	—	2	1	no	—
200	C₄×C₈	—	2	1	no	—
201	C₄×C₈	—	2	1	no	—
202	C₄×C₈	—	2	1	no	—
203	C₄×C₈	—	4	2	no	—
204	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
205	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
206	#95	—	2	1	no	—
207	#41	—	4	2	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	#41	—	4	2	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	#41	—	4	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	—	2	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	Q₁₆	—	2	2	no	—
231	Q₁₆	—	2	2	no	—
232	Q₁₆	—	2	2	no	—
233	Q₁₆	—	2	2	no	—
234	Q₁₆	—	8	2	no	—
235	SD₁₆	—	4	2	no	—
236	SD₁₆	—	4	2	no	—
237	SD₁₆	—	4	2	no	—
238	SD₁₆	—	4	2	no	—
239	SD₁₆	—	8	2	no	—
240	SD₁₆	—	8	2	no	—
241	D₈	—	2	2	no	—
242	D₈	—	2	2	no	—
243	D₈	—	2	2	no	—
244	D₈	—	2	2	no	—
245	D₈	—	8	2	no	—
246	M₁₆	—	2	4	no	—
247	M₁₆	—	4	2	no	—
248	M₁₆	—	4	2	no	—
249	M₁₆	—	4	2	no	—
250	M₁₆	—	8	4	no	—
251	M₁₆	—	8	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	1	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	8	4	no	—
261	C₂×C₈	—	8	4	no	—
262	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
272	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
279	C₄²	—	2	1	no	—
280	C₄²	—	2	1	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
284	C₄²	C₂×D₈	1	2	yes	—
285	C₁₆	—	2	2	no	—
286	C₁₆	—	4	1	no	—
287	C₁₆	—	4	1	no	—
288	C₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₁₆	C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₂³	—	4	2	no	—
291	C₂³	—	4	2	no	—
292	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	4	2	no	—
294	Q₈	—	4	2	no	—
295	Q₈	—	4	2	no	—
296	Q₈	—	4	2	no	—
297	D₄	—	4	2	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	D₄	—	8	4	no	—
302	D₄	—	8	2	no	—
303	D₄	—	8	2	no	—
304	D₄	—	8	2	no	—
305	D₄	—	8	2	no	—
306	D₄	—	16	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	1	no	—
309	C₂×C₄	—	4	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	1	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	1	no	—
331	C₈	—	2	2	no	—
332	C₈	—	2	1	no	—
333	C₈	—	4	4	no	—
334	C₈	—	8	2	no	—
335	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
337	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
338	C₈	#559	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	1	no	—
341	C₂²	—	8	2	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	—	8	2	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	8	2	no	—
347	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#3396	1	1	yes	characteristic
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	8	1	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	—	8	2	no	—
356	C₄	#2366	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
358	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#3391	1	1	yes	characteristic
360	C₂	—	2	1	no	—
361	C₂	—	2	1	no	—
362	C₂	—	16	2	no	—
363	C₂	—	16	2	no	—
364	C₂	#23185	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#33463	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#33464	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×C₄×D₈
prime radical	#33716	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄⋊C₈ ◁ C₈×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2179	C₂	semidirect
3. C₂×#2178	C₂	semidirect
4. #23179	C₂	semidirect
5. #13251	C₂	semidirect
6. #13242	C₂	semidirect
7. #13241	C₂	semidirect
8. #13011	C₂	semidirect
9. #13011	C₂	semidirect
10. #12676	C₂	semidirect
11. #12663	C₂	semidirect
19. #2251	C₄	semidirect
20. #2251	C₄	semidirect
21. #2250	C₄	semidirect
22. #2250	C₄	semidirect
100. #368	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33716	2
C₂×#2179	2
C₂×#2178	2
#23179	2
#13251	2
#13242	2
#13241	2
#13011	2
#12676	2
#12663	2