Subgroups — #498559

Order 512.

722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2249	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×SD₃₂	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23186	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13254	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13237	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13015	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13012	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₄×#367	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	#2367	—	2	2	no	—
17	#2249	C₄	1	8	yes	complemented
18	C₄×SD₃₂	—	2	8	no	—
19	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1983	—	2	2	no	—
29	#1970	C₂²	1	2	yes	—
30	#1969	C₂²	1	2	yes	—
31	#1880	—	2	2	no	—
32	#1877	—	2	2	no	—
33	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
34	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1380	C₂²	1	2	yes	—
36	#1374	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#124	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×Q₃₂	—	4	1	no	—
44	C₂×Q₃₂	—	4	1	no	—
45	C₂×Q₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
46	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
47	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
48	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
49	C₂×D₁₆	—	4	1	no	—
50	C₂×D₁₆	—	4	1	no	—
51	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#495	—	2	4	no	—
56	#495	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
57	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
58	C₄×Q₁₆	—	4	2	no	—
59	C₄×D₈	—	2	4	no	—
60	C₄×D₈	—	4	2	no	—
61	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#103	—	2	2	no	—
65	C₂×#103	—	2	2	no	—
66	C₂×#102	—	2	2	no	—
67	C₂×#102	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#391	—	2	2	no	—
71	#390	—	2	2	no	—
72	#388	—	4	2	no	—
73	#388	—	4	2	no	—
74	#385	—	4	2	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
78	#367	—	2	2	no	—
79	#367	D₄	1	4	yes	—
80	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
81	#358	—	2	4	no	—
82	#358	—	4	2	no	—
83	#357	—	2	4	no	—
84	#357	—	4	2	no	—
85	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
86	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
87	#340	—	2	2	no	—
88	#336	D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
90	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
92	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
99	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
100	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
101	C₂×D₈	—	2	2	no	—
102	C₂×D₈	—	2	2	no	—
103	C₂×D₈	—	2	2	no	—
104	C₂×D₈	—	2	2	no	—
105	C₂×D₈	—	2	2	no	—
106	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	#124	—	2	8	no	—
111	#124	—	4	4	no	—
112	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
113	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
114	C₄×D₄	—	4	4	no	—
115	C₄×D₄	—	8	2	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	Q₃₂	—	4	4	no	—
130	SD₃₂	—	2	16	no	—
131	D₁₆	—	4	4	no	—
132	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
133	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
134	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
141	#107	—	2	2	no	—
142	#107	—	2	2	no	—
143	#107	—	2	2	no	—
144	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
145	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
146	#103	—	4	4	no	—
147	#103	—	8	2	no	—
148	#102	—	4	4	no	—
149	#102	—	8	2	no	—
150	C₄×C₈	—	2	2	no	—
151	C₄×C₈	—	2	2	no	—
152	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
153	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
154	#95	—	4	2	no	—
155	#95	—	4	2	no	—
156	#95	—	4	2	no	—
157	#95	D₈	1	1	yes	characteristic
158	#95	D₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂⁴	—	4	2	no	—
160	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
163	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
164	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
165	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	4	2	no	—
168	C₂×D₄	—	4	2	no	—
169	C₂×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	2	no	—
171	C₂×D₄	—	4	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
178	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
183	Q₁₆	—	2	4	no	—
184	Q₁₆	—	2	4	no	—
185	Q₁₆	—	4	2	no	—
186	Q₁₆	—	4	2	no	—
187	SD₁₆	—	8	8	no	—
188	D₈	—	2	4	no	—
189	D₈	—	2	4	no	—
190	D₈	—	4	2	no	—
191	D₈	—	4	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	1	no	—
193	C₂×C₈	—	2	1	no	—
194	C₂×C₈	—	2	2	no	—
195	C₂×C₈	—	2	2	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
204	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
206	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
208	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	—	8	4	no	—
218	C₄²	—	16	2	no	—
219	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
220	C₄²	#135	1	2	yes	—
221	C₁₆	—	2	2	no	—
222	C₁₆	—	4	2	no	—
223	C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
224	C₂³	—	4	4	no	—
225	C₂³	—	8	2	no	—
226	C₂³	—	8	2	no	—
227	C₂³	—	8	2	no	—
228	C₂³	—	8	2	no	—
229	C₂³	—	8	2	no	—
230	C₂³	—	8	2	no	—
231	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
232	Q₈	—	4	4	no	—
233	Q₈	—	4	4	no	—
234	Q₈	—	8	2	no	—
235	Q₈	—	8	2	no	—
236	D₄	—	4	4	no	—
237	D₄	—	4	4	no	—
238	D₄	—	8	2	no	—
239	D₄	—	8	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	8	2	no	—
250	C₂×C₄	—	8	2	no	—
251	C₂×C₄	—	8	2	no	—
252	C₂×C₄	—	8	2	no	—
253	C₂×C₄	—	8	2	no	—
254	C₂×C₄	—	8	2	no	—
255	C₂×C₄	—	8	2	no	—
256	C₂×C₄	—	16	8	no	—
257	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
259	C₂×C₄	#508	1	4	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
266	C₈	—	2	2	no	—
267	C₈	—	4	2	no	—
268	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
270	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
271	C₈	#559	1	1	yes	characteristic
272	C₂²	—	8	4	no	—
273	C₂²	—	8	4	no	—
274	C₂²	—	8	4	no	—
275	C₂²	—	16	2	no	—
276	C₂²	—	16	2	no	—
277	C₂²	—	16	2	no	—
278	C₂²	—	16	2	no	—
279	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#3391	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂×#508	1	2	yes	—
283	C₂²	#3416	1	2	yes	—
284	C₄	—	2	4	no	—
285	C₄	—	2	2	no	—
286	C₄	—	2	2	no	—
287	C₄	—	4	2	no	—
288	C₄	—	8	4	no	—
289	C₄	—	8	4	no	—
290	C₄	—	16	2	no	—
291	C₄	#2366	1	1	yes	characteristic
292	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
293	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#3396	1	1	yes	characteristic
295	C₂	—	16	4	no	—
296	C₂	#23185	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₄×#508	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#33460	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#33848	1	2	yes	—
300	C₂	#33961	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₁₆	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ C₈×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×SD₃₂	C₂	semidirect
3. #23186	C₂	semidirect
4. #13254	C₂	semidirect
5. #13237	C₂	semidirect
6. #13015	C₂	semidirect
8. C₄×#367	C₂	semidirect
9. C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
17. #2249	C₄	semidirect
45. C₂×Q₃₂	C₂×C₄	semidirect
48. C₂×SD₃₂	C₂×C₄	semidirect
56. #495	C₂×C₄	semidirect
86. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2249	2
C₂×C₄×SD₃₂	2
#23186	2
#13254	2
#13237	2
#13015	2
#13012	2
C₄×#367	2
C₁₆×C₄⋊C₄	2