Subgroups — #498562

Order 512.

816 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 246 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2246	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2177	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23185	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13252	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13239	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13012	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄×#367	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#12662	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
13	#2366	—	2	2	no	—
14	#2246	C₄	1	8	yes	complemented
15	#2177	—	2	8	no	—
16	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1982	—	2	2	no	—
24	#1970	C₂²	1	4	yes	—
25	#1879	—	2	4	no	—
26	C₄×#107	C₂²	1	2	yes	—
27	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1380	C₂²	1	2	yes	—
29	#1374	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂×#127	—	2	2	no	—
33	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
35	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
36	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
38	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
39	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
40	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
41	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#493	—	2	4	no	—
45	#493	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
46	C₄×D₈	—	2	8	no	—
47	C₄×D₈	—	4	4	no	—
48	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#102	—	2	4	no	—
52	C₂×#102	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#390	—	2	4	no	—
56	#390	—	4	2	no	—
57	#386	—	4	4	no	—
58	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
59	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
60	#367	—	2	2	no	—
61	#367	D₄	1	4	yes	complemented
62	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
63	#357	—	2	8	no	—
64	#357	—	4	4	no	—
65	#346	—	2	4	no	—
66	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
67	#340	—	2	2	no	—
68	#336	D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
71	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
72	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
73	C₂×D₈	—	2	8	no	—
74	C₂×D₈	—	2	4	no	—
75	C₂×D₈	—	2	4	no	—
76	C₂×D₈	—	2	4	no	—
77	C₂×D₈	—	2	4	no	—
78	C₂×D₈	—	2	4	no	—
79	C₂×D₈	—	8	2	no	—
80	C₂×D₈	—	8	2	no	—
81	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
82	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	#127	—	2	8	no	—
86	#127	—	4	4	no	—
87	C₄×D₄	—	4	8	no	—
88	C₄×D₄	—	8	4	no	—
89	C₄×D₄	—	8	8	no	—
90	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
93	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
94	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
96	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
97	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	D₁₆	—	2	16	no	—
100	D₁₆	—	4	8	no	—
101	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
102	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
103	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
110	#107	—	2	2	no	—
111	#107	—	2	2	no	—
112	#107	—	2	2	no	—
113	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
114	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
115	#102	—	4	8	no	—
116	#102	—	8	4	no	—
117	C₄×C₈	—	2	2	no	—
118	C₄×C₈	—	2	2	no	—
119	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
121	#95	—	4	2	no	—
122	#95	D₈	1	2	yes	—
123	C₂⁴	—	4	4	no	—
124	C₂×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂×D₄	—	4	4	no	—
126	C₂×D₄	—	4	4	no	—
127	C₂×D₄	—	4	4	no	—
128	C₂×D₄	—	4	4	no	—
129	C₂×D₄	—	4	4	no	—
130	C₂×D₄	—	4	8	no	—
131	C₂×D₄	—	4	8	no	—
132	C₂×D₄	—	8	4	no	—
133	C₂×D₄	—	8	4	no	—
134	C₂×D₄	—	16	2	no	—
135	C₂×D₄	—	16	2	no	—
136	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
139	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
140	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
141	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
142	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	D₈	—	2	8	no	—
146	D₈	—	2	8	no	—
147	D₈	—	4	4	no	—
148	D₈	—	4	4	no	—
149	D₈	—	8	8	no	—
150	C₂×C₈	—	2	1	no	—
151	C₂×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂×C₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
162	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
170	C₄²	—	2	2	no	—
171	C₄²	—	2	2	no	—
172	C₄²	—	8	4	no	—
173	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
174	C₄²	#135	1	2	yes	—
175	C₁₆	—	2	2	no	—
176	C₁₆	—	4	2	no	—
177	C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	complemented
178	C₂³	—	4	8	no	—
179	C₂³	—	8	4	no	—
180	C₂³	—	8	4	no	—
181	C₂³	—	8	4	no	—
182	C₂³	—	8	4	no	—
183	C₂³	—	8	4	no	—
184	C₂³	—	8	4	no	—
185	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
186	D₄	—	4	8	no	—
187	D₄	—	4	8	no	—
188	D₄	—	8	4	no	—
189	D₄	—	8	16	no	—
190	D₄	—	8	4	no	—
191	D₄	—	16	8	no	—
192	C₂×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂×C₄	—	8	2	no	—
198	C₂×C₄	—	8	2	no	—
199	C₂×C₄	—	8	2	no	—
200	C₂×C₄	—	8	2	no	—
201	C₂×C₄	—	8	2	no	—
202	C₂×C₄	—	16	16	no	—
203	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
204	C₂×C₄	C₄×D₈	1	2	yes	—
205	C₂×C₄	#509	1	4	yes	—
206	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
212	C₈	—	2	2	no	—
213	C₈	—	4	2	no	—
214	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
216	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
217	C₈	#559	1	1	yes	characteristic
218	C₂²	—	8	8	no	—
219	C₂²	—	8	8	no	—
220	C₂²	—	8	8	no	—
221	C₂²	—	16	4	no	—
222	C₂²	—	16	4	no	—
223	C₂²	—	16	4	no	—
224	C₂²	—	16	4	no	—
225	C₂²	C₂×C₄×D₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	#3391	1	1	yes	characteristic
228	C₂²	C₂×#509	1	2	yes	—
229	C₂²	#3415	1	2	yes	—
230	C₄	—	2	2	no	—
231	C₄	—	4	4	no	—
232	C₄	—	8	4	no	—
233	C₄	—	16	2	no	—
234	C₄	#2177	1	4	yes	complemented
235	C₄	#2366	1	1	yes	characteristic
236	C₄	#2948	1	1	yes	characteristic
237	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
238	C₄	#3396	1	1	yes	characteristic
239	C₂	—	16	8	no	—
240	C₂	#23185	1	1	yes	characteristic
241	C₂	C₂×#2177	1	1	yes	characteristic
242	C₂	#33456	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#33840	1	2	yes	—
244	C₂	#33966	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2246	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ C₈×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2177	C₂	semidirect
3. #23185	C₂	semidirect
4. #13252	C₂	semidirect
5. #13239	C₂	semidirect
6. #13012	C₂	semidirect
7. C₄×#367	C₂	semidirect
8. #12662	C₂	semidirect
14. #2246	C₄	semidirect
39. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
40. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
45. #493	C₂×C₄	semidirect
61. #367	D₄	semidirect
66. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect
177. C₁₆	C₄×D₄	semidirect
234. C₄	#2177	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2246	2
C₂×#2177	2
#23185	2
#13252	2
#13239	2
#13012	2
C₄×#367	2
#12662	2