Subgroups — #498582

Order 512.

668 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33717	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#33471	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23201	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#23196	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13261	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13259	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13247	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13036	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13033	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12667	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
14	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2957	—	2	1	no	—
17	#2957	C₂²	1	2	yes	—
18	#2948	—	2	1	no	—
19	#2948	C₂²	1	2	yes	—
20	#2250	C₄	1	4	yes	complemented
21	#2248	C₄	1	2	yes	complemented
22	#2246	C₄	1	2	yes	complemented
23	AGL(1,ℤ/16)	—	2	8	no	—
24	#2155	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2155	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#364	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
28	#2145	C₂²	1	2	yes	—
29	#2143	C₂²	1	2	yes	—
30	#2140	C₂²	1	2	yes	—
31	#2110	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1978	—	2	1	no	—
34	#1978	C₂²	1	2	yes	—
35	#1976	—	2	1	no	—
36	#1976	C₂²	1	2	yes	—
37	#1887	—	2	2	no	—
38	#1884	—	2	2	no	—
39	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1772	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1385	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1384	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1378	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#135	—	2	1	no	—
46	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
49	#568	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	1	no	—
51	C₂×#127	—	2	1	no	—
52	#518	—	2	2	no	—
53	#509	—	2	4	no	—
54	#509	—	2	4	no	—
55	#509	—	4	2	no	—
56	#509	—	4	2	no	—
57	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
58	C₂×SD₃₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
59	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
60	C₂×D₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
61	C₂×M₃₂	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#495	—	2	1	no	—
65	#495	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
66	#494	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
67	#493	—	2	1	no	—
68	#493	—	2	1	no	—
69	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
70	#493	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	#493	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
72	#492	—	2	1	no	—
73	#444	—	2	4	no	—
74	#444	—	4	2	no	—
75	#443	—	4	2	no	—
76	#443	—	4	2	no	—
77	#442	—	2	4	no	—
78	#442	—	4	2	no	—
79	C₄×D₈	—	4	2	no	—
80	C₄×D₈	—	4	2	no	—
81	C₂×#108	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#108	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#427	D₄	1	1	yes	characteristic
85	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#427	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#421	—	2	2	no	—
88	#421	—	2	2	no	—
89	#418	—	2	2	no	—
90	#418	—	2	2	no	—
91	C₂×#100	—	2	2	no	—
92	#410	—	2	2	no	—
93	#405	—	2	1	no	—
94	#405	—	2	1	no	—
95	#405	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	#365	—	2	2	no	—
98	#365	D₄	1	4	yes	complemented
99	#364	—	2	1	no	—
100	#364	—	2	1	no	—
101	#361	—	2	4	no	—
102	#360	—	2	4	no	—
103	#359	—	4	2	no	—
104	#357	—	4	2	no	—
105	#347	—	2	4	no	—
106	#346	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
107	C₄×C₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
108	#339	—	2	1	no	—
109	#339	—	2	1	no	—
110	#339	D₄	1	2	yes	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	8	1	no	—
114	#135	—	2	2	no	—
115	#135	—	2	2	no	—
116	#135	—	2	2	no	—
117	#135	—	2	2	no	—
118	#135	—	4	1	no	—
119	#135	—	4	1	no	—
120	#135	—	4	1	no	—
121	#135	—	4	1	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
123	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	—	2	2	no	—
127	C₂×D₈	—	2	2	no	—
128	C₂×D₈	—	2	1	no	—
129	C₂×D₈	—	2	2	no	—
130	C₂×D₈	—	2	2	no	—
131	C₂×D₈	—	2	2	no	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	—	2	2	no	—
134	C₂×D₈	—	4	1	no	—
135	C₂×D₈	—	4	1	no	—
136	C₂×D₈	—	4	1	no	—
137	C₂×D₈	—	4	1	no	—
138	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
139	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
140	#131	—	4	4	no	—
141	#131	—	4	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
144	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
145	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
148	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
149	#127	—	2	2	no	—
150	#127	—	2	2	no	—
151	#127	—	2	1	no	—
152	#127	—	8	1	no	—
153	#124	—	2	2	no	—
154	#121	—	8	1	no	—
155	C₄×D₄	—	4	4	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	8	1	no	—
158	#117	—	2	1	no	—
159	#117	—	2	1	no	—
160	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	SD₃₂	—	2	8	no	—
164	SD₃₂	—	4	4	no	—
165	D₁₆	—	2	8	no	—
166	D₁₆	—	4	4	no	—
167	M₃₂	—	2	1	no	—
168	M₃₂	—	2	1	no	—
169	M₃₂	—	2	2	no	—
170	M₃₂	—	2	2	no	—
171	M₃₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	M₃₂	#41	1	2	yes	—
173	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
174	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₁₆	C₂²×C₄	1	2	yes	—
176	#108	—	2	1	no	—
177	#108	—	2	1	no	—
178	#108	—	2	1	no	—
179	#108	—	2	1	no	—
180	#108	—	2	1	no	—
181	#108	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	#107	—	2	1	no	—
183	#107	—	2	1	no	—
184	#107	—	2	1	no	—
185	#106	—	2	1	no	—
186	#106	—	2	1	no	—
187	#106	C₂×D₄	1	2	yes	—
188	#104	—	4	4	no	—
189	#104	—	4	4	no	—
190	#102	—	4	4	no	—
191	#102	—	4	4	no	—
192	#100	—	8	2	no	—
193	#99	—	8	2	no	—
194	#97	—	2	2	no	—
195	#97	—	4	1	no	—
196	#97	—	4	1	no	—
197	C₄×C₈	—	2	2	no	—
198	C₄×C₈	—	4	1	no	—
199	C₄×C₈	—	4	1	no	—
200	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
201	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
202	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
203	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
204	C₂⁴	—	4	2	no	—
205	#41	—	4	2	no	—
206	#41	—	4	2	no	—
207	#41	—	4	2	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	8	1	no	—
219	C₂×D₄	—	8	2	no	—
220	C₂×D₄	—	8	2	no	—
221	C₂×D₄	—	16	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
226	Q₁₆	—	2	2	no	—
227	Q₁₆	—	2	2	no	—
228	Q₁₆	—	4	1	no	—
229	Q₁₆	—	4	1	no	—
230	SD₁₆	—	4	2	no	—
231	SD₁₆	—	4	2	no	—
232	SD₁₆	—	4	2	no	—
233	SD₁₆	—	4	2	no	—
234	D₈	—	2	2	no	—
235	D₈	—	2	4	no	—
236	D₈	—	2	2	no	—
237	D₈	—	2	4	no	—
238	D₈	—	4	2	no	—
239	D₈	—	4	2	no	—
240	D₈	—	4	2	no	—
241	D₈	—	4	2	no	—
242	D₈	—	4	2	no	—
243	D₈	—	4	2	no	—
244	D₈	—	4	1	no	—
245	D₈	—	4	1	no	—
246	M₁₆	—	2	2	no	—
247	M₁₆	—	2	2	no	—
248	M₁₆	—	2	2	no	—
249	M₁₆	—	4	1	no	—
250	M₁₆	—	4	1	no	—
251	M₁₆	—	4	1	no	—
252	M₁₆	—	8	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	2	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	8	4	no	—
257	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	8	1	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
278	C₄²	—	2	1	no	—
279	C₄²	—	2	2	no	—
280	C₄²	—	4	1	no	—
281	C₄²	—	4	1	no	—
282	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₁₆	—	2	2	no	—
285	C₁₆	—	4	2	no	—
286	C₁₆	C₄×D₄	1	4	yes	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	4	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	16	4	no	—
292	C₂³	#576	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	4	2	no	—
294	Q₈	—	4	2	no	—
295	D₄	—	4	4	no	—
296	D₄	—	4	2	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	8	2	no	—
300	D₄	—	8	2	no	—
301	D₄	—	8	2	no	—
302	D₄	—	8	2	no	—
303	D₄	—	16	2	no	—
304	D₄	—	16	4	no	—
305	D₄	—	16	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	1	no	—
315	C₂×C₄	—	32	4	no	—
316	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
322	C₈	—	4	2	no	—
323	C₈	—	4	2	no	—
324	C₈	—	8	1	no	—
325	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
326	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
327	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
328	C₈	#442	1	1	yes	characteristic
329	C₈	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₈	#518	1	1	yes	characteristic
331	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
332	C₈	#559	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	—	4	1	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	—	8	4	no	—
336	C₂²	—	16	4	no	—
337	C₂²	—	16	2	no	—
338	C₂²	—	16	4	no	—
339	C₂²	—	32	2	no	—
340	C₂²	#2948	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#3274	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#3399	1	1	yes	characteristic
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	4	1	no	—
345	C₄	—	8	2	no	—
346	C₄	—	8	2	no	—
347	C₄	—	8	2	no	—
348	C₄	—	16	1	no	—
349	C₄	#2366	1	1	yes	characteristic
350	C₄	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#3274	1	1	yes	characteristic
352	C₄	#3399	1	1	yes	characteristic
353	C₂	—	2	1	no	—
354	C₂	—	2	1	no	—
355	C₂	—	2	1	no	—
356	C₂	—	16	2	no	—
357	C₂	—	16	4	no	—
358	C₂	#23188	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂	#23188
commutator	C₂×C₈	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#33717	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1772 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #33471	C₂	semidirect
3. #23201	C₂	semidirect
4. #23196	C₂	semidirect
5. #13261	C₂	semidirect
6. #13259	C₂	semidirect
7. #13247	C₂	semidirect
8. #13036	C₂	semidirect
9. #13033	C₂	semidirect
10. #12668	C₂	semidirect
11. #12667	C₂	semidirect
20. #2250	C₄	semidirect
21. #2248	C₄	semidirect
22. #2246	C₄	semidirect
57. C₂×SD₃₂	C₂×C₄	semidirect
58. C₂×SD₃₂	C₂×C₄	semidirect
59. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
60. C₂×D₁₆	C₂×C₄	semidirect
65. #495	C₂×C₄	semidirect
66. #494	C₂×C₄	semidirect
71. #493	C₂×C₄	semidirect
98. #365	D₄	semidirect
106. #346	C₂×C₄	semidirect
107. C₄×C₁₆	C₂×C₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33717	2
#33471	2
#23201	2
#23196	2
#13261	2
#13259	2
#13247	2
#13036	2
#13033	2
#12668	2
#12667	2