Subgroups — #498689

Order 512.

576 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 313 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₈×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#13189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#13120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#12976	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₄×#123	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1923	C₄	1	2	yes	—
25	#1916	C₄	1	2	yes	—
26	#1869	C₄	1	1	yes	characteristic
27	#1850	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#1817	C₄	1	1	yes	characteristic
29	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	#1374	C₂²	1	2	yes	—
33	#1374	C₂²	1	2	yes	—
34	#1374	C₂²	1	2	yes	—
35	#1374	C₂²	1	2	yes	—
36	#1374	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#123	C₈	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₁₆	—	4	1	no	—
45	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₈×D₄	—	4	1	no	—
50	C₈×D₄	—	4	1	no	—
51	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
58	C₂×C₄×C₈	—	4	1	no	—
59	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	#388	C₈	1	2	yes	—
64	#387	C₈	1	2	yes	—
65	#386	C₈	1	1	yes	characteristic
66	#385	C₈	1	1	yes	characteristic
67	#381	C₈	1	1	yes	characteristic
68	C₄×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
72	C₄⋊C₁₆	—	4	1	no	—
73	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
74	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
75	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
76	C₂²⋊C₁₆	—	4	1	no	—
77	C₄×C₁₆	—	2	4	no	—
78	C₄×C₁₆	—	4	2	no	—
79	C₄×C₁₆	—	4	2	no	—
80	C₄×C₁₆	—	4	1	no	—
81	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
100	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
101	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	#123	C₁₆	1	8	yes	complemented
108	C₄×D₄	—	4	1	no	—
109	C₄×D₄	—	4	1	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
120	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
121	C₂×C₄²	C₂×C₈	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	—
137	C₂×C₁₆	#41	1	4	yes	—
138	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
139	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
140	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
143	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
144	C₄×C₈	—	2	2	no	—
145	C₄×C₈	—	2	2	no	—
146	C₄×C₈	—	2	2	no	—
147	C₄×C₈	—	2	2	no	—
148	C₄×C₈	—	2	1	no	—
149	C₄×C₈	—	2	1	no	—
150	C₄×C₈	—	4	2	no	—
151	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
152	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
153	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
154	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
155	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
156	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂×D₄	—	4	1	no	—
159	C₂×D₄	—	4	1	no	—
160	C₂×D₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
171	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
173	C₂²×C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
174	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
175	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂×C₈	—	2	2	no	—
185	C₂×C₈	—	2	2	no	—
186	C₂×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂×C₈	—	2	1	no	—
189	C₂×C₈	—	2	1	no	—
190	C₂×C₈	—	2	1	no	—
191	C₂×C₈	—	2	2	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	4	4	no	—
195	C₂×C₈	—	4	1	no	—
196	C₂×C₈	—	4	1	no	—
197	C₂×C₈	—	4	2	no	—
198	C₂×C₈	—	4	2	no	—
199	C₂×C₈	—	4	1	no	—
200	C₂×C₈	—	4	1	no	—
201	C₂×C₈	#131	1	4	yes	—
202	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
203	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
204	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
206	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
208	C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	complemented
209	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
213	C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	1	8	yes	—
214	C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	1	4	yes	complemented
215	C₄²	—	2	2	no	—
216	C₄²	—	2	2	no	—
217	C₄²	—	2	1	no	—
218	C₄²	—	2	2	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	2	1	no	—
221	C₄²	—	4	2	no	—
222	C₁₆	—	2	4	no	—
223	C₁₆	—	2	4	no	—
224	C₁₆	—	4	2	no	—
225	C₁₆	—	4	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	2	no	—
228	C₂³	—	2	1	no	—
229	C₂³	—	2	1	no	—
230	C₂³	—	2	2	no	—
231	C₂³	—	2	2	no	—
232	C₂³	—	2	1	no	—
233	C₂³	—	2	1	no	—
234	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
235	C₂³	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
236	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
237	D₄	—	4	4	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂×C₄	—	4	1	no	—
259	C₂×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂×C₄	—	4	1	no	—
263	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
264	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	C₂²×C₁₆	1	2	yes	—
266	C₂×C₄	#504	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄	C₂×#131	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
271	C₈	—	2	4	no	—
272	C₈	—	4	1	no	—
273	C₈	—	4	1	no	—
274	C₈	—	4	2	no	—
275	C₈	—	4	1	no	—
276	C₈	#551	1	1	yes	characteristic
277	C₈	#553	1	2	yes	—
278	C₈	#559	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	—	2	4	no	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	4	2	no	—
284	C₂²	—	4	2	no	—
285	C₂²	—	4	1	no	—
286	C₂²	—	4	1	no	—
287	C₂²	—	4	1	no	—
288	C₂²	—	4	1	no	—
289	C₂²	C₈×#41	1	2	yes	—
290	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	C₂³×C₁₆	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	C₂×#504	1	2	yes	—
293	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
294	C₄	—	2	4	no	—
295	C₄	—	2	4	no	—
296	C₄	—	2	2	no	—
297	C₄	—	2	4	no	—
298	C₄	—	4	2	no	—
299	C₄	—	4	1	no	—
300	C₄	—	4	1	no	—
301	C₄	—	4	1	no	—
302	C₄	#2374	1	1	yes	characteristic
303	C₄	#2969	1	2	yes	—
304	C₄	#2977	1	1	yes	characteristic
305	C₂	—	4	2	no	—
306	C₂	—	4	2	no	—
307	C₂	#23294	1	1	yes	characteristic
308	C₂	C₁₆×#41	1	2	yes	—
309	C₂	#33483	1	2	yes	—
310	C₂	#33486	1	1	yes	characteristic
311	C₂	#33491	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator	C₂²	C₂³×C₁₆
socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	C₂²×D₄	C₂×C₈
LCS	G ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #13120	C₂	semidirect
4. #13120	C₂	semidirect
5. #13104	C₂	semidirect
7. C₁₆×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
8. C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
9. C₄×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
107. #123	C₁₆	semidirect
173. C₂²×C₄	C₂×C₁₆	semidirect
208. C₄⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect
214. C₂²⋊C₄	C₂×C₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₈×#123	2
#13189	2
#13120	2
#13104	2
#12976	2
C₁₆×C₄⋊C₄	2
C₁₆×C₂²⋊C₄	2
C₄×C₂²⋊C₁₆	2