Subgroups — #498708

Order 512.

642 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21442	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#13190	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#13189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#13121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13121	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13120	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12977	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12977	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12680	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
14	#2388	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#346	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1870	C₄	1	1	yes	characteristic
28	#1870	C₄	1	2	yes	—
29	#1851	C₄	1	1	yes	characteristic
30	#1851	C₄	1	2	yes	—
31	#1780	C₄	1	1	yes	characteristic
32	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1374	C₂²	1	2	yes	—
35	#1374	C₂²	1	2	yes	—
36	#1374	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#131	—	4	1	no	—
39	C₂×#131	—	4	2	no	—
40	C₂×#131	—	4	2	no	—
41	C₂×#131	—	4	1	no	—
42	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×M₃₂	—	4	2	no	—
50	C₂×M₃₂	—	4	1	no	—
51	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₈×D₄	—	4	1	no	—
56	C₈×D₄	—	4	2	no	—
57	C₈×D₄	—	4	1	no	—
58	C₈×D₄	—	4	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
69	#395	C₈	1	1	yes	characteristic
70	#394	C₈	1	1	yes	characteristic
71	#394	C₈	1	2	yes	—
72	#393	C₈	1	1	yes	characteristic
73	#392	C₈	1	2	yes	—
74	#392	C₈	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
77	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
78	C₄⋊C₁₆	—	4	1	no	—
79	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
80	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
81	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
82	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
83	C₂²⋊C₁₆	—	4	1	no	—
84	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
85	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
86	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
87	#346	—	4	2	no	—
88	C₄×C₁₆	—	4	1	no	—
89	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
90	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	#336	C₂×C₄	1	2	yes	—
92	C₂×#41	—	4	1	no	—
93	C₂×#41	—	4	2	no	—
94	C₂×#41	—	4	1	no	—
95	C₂×#41	—	4	2	no	—
96	C₂²×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
99	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×D₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
101	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	#131	—	4	8	no	—
105	#131	—	4	4	no	—
106	#131	—	4	4	no	—
107	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	1	no	—
111	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₄×D₄	—	4	1	no	—
133	C₄×D₄	—	4	2	no	—
134	C₄×D₄	—	4	1	no	—
135	C₄×D₄	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	M₃₂	—	4	4	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
160	C₄⋊C₈	—	4	1	no	—
161	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
162	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
167	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	1	no	—
169	C₄×C₈	—	2	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	1	no	—
171	C₄×C₈	—	2	2	no	—
172	#95	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
173	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
174	#95	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
175	#95	C₂×C₈	1	2	yes	—
176	C₂⁴	C₂²×C₈	1	2	yes	—
177	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
178	C₂⁴	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
179	#41	—	4	4	no	—
180	#41	—	4	4	no	—
181	#41	—	4	8	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	2	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	1	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	1	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	1	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	M₁₆	—	4	8	no	—
218	M₁₆	—	4	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	1	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	1	no	—
235	C₂×C₈	—	4	2	no	—
236	C₂×C₈	—	4	2	no	—
237	C₂×C₈	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	4	1	no	—
239	C₂×C₈	—	4	2	no	—
240	C₂×C₈	—	4	1	no	—
241	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
243	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
245	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄²	—	2	1	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	1	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₁₆	—	4	2	no	—
259	C₁₆	—	4	2	no	—
260	C₁₆	—	4	2	no	—
261	C₁₆	—	4	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	1	no	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	2	1	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	2	no	—
279	C₂³	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	4	4	no	—
281	D₄	—	4	4	no	—
282	D₄	—	4	8	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	D₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂×C₄	—	4	1	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	1	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	#504	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#518	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#568	1	2	yes	—
317	C₈	—	4	1	no	—
318	C₈	—	4	1	no	—
319	C₈	—	4	2	no	—
320	C₈	—	4	1	no	—
321	C₈	—	4	2	no	—
322	C₈	#560	1	2	yes	—
323	C₈	#560	1	1	yes	characteristic
324	C₈	H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	—	4	1	no	—
326	C₂²	—	4	2	no	—
327	C₂²	—	4	1	no	—
328	C₂²	—	4	1	no	—
329	C₂²	—	4	1	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	1	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	1	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	#2972	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#2972	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂×#504	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3407	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#3407	1	2	yes	—
347	C₄	—	2	2	no	—
348	C₄	—	4	1	no	—
349	C₄	—	4	1	no	—
350	C₄	—	4	2	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	—	4	1	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	#2375	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#2978	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#2978	1	2	yes	—
357	C₂	—	8	1	no	—
358	C₂	—	8	2	no	—
359	C₂	—	8	1	no	—
360	C₂	#23306	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#33490	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#33492	1	2	yes	—
363	C₂	#33494	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#33495	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
commutator, socle	C₂³	C₂³×C₈
prime radical	#2388	C₄
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #13190	C₂	semidirect
3. #13189	C₂	semidirect
4. #13121	C₂	semidirect
5. #13121	C₂	semidirect
6. #13120	C₂	semidirect
7. #12977	C₂	semidirect
8. #12977	C₂	semidirect
9. #12680	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21442	2
#13190	2
#13189	2
#13121	2
#13120	2
#12977	2
#12680	2