Subgroups — #498852

Order 512.

1598 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#510	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2139	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1969	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13330	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13329	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#13328	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12544	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	—	2	1	no	—
10	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#532	—	2	1	no	—
13	C₂×#510	—	2	8	no	—
14	C₂×#510	—	2	8	no	—
15	C₂×#510	—	2	8	no	—
16	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
19	#3147	—	2	8	no	—
20	C₂×#495	—	2	1	no	—
21	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#492	—	2	1	no	—
25	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×#103	—	2	1	no	—
27	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#391	—	2	1	no	—
29	#2139	—	2	8	no	—
30	C₂×#358	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
32	#1969	—	2	1	no	—
33	#1969	—	2	1	no	—
34	#1969	C₂²	1	2	yes	—
35	#1969	C₂²	1	2	yes	—
36	#1374	C₂²	1	2	yes	—
37	#1374	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂²×#41	—	2	2	no	—
39	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
40	C₂×#135	—	2	8	no	—
41	C₂×#135	—	2	4	no	—
42	C₂×#135	—	2	4	no	—
43	C₂×#135	—	2	4	no	—
44	C₂×#135	—	2	4	no	—
45	C₂×#135	—	2	4	no	—
46	C₂×#135	—	4	4	no	—
47	C₂×#135	—	4	4	no	—
48	C₂×#135	D₄	1	8	yes	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×Q₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
60	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#532	—	2	8	no	—
64	#532	—	4	4	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
66	C₂×#127	—	2	1	no	—
67	C₂×#124	—	2	2	no	—
68	C₂×#121	—	4	2	no	—
69	C₂×C₄×D₄	—	4	2	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
72	#510	—	2	64	no	—
73	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
74	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
75	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
76	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
77	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
78	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
79	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
80	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
81	C₂×M₃₂	D₄	1	8	yes	complemented
82	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
83	#495	—	2	8	no	—
84	#495	—	2	4	no	—
85	#495	—	2	4	no	—
86	#494	—	2	4	no	—
87	#493	—	2	4	no	—
88	#492	—	2	8	no	—
89	C₂×#107	—	2	4	no	—
90	C₂×#107	—	2	1	no	—
91	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#103	—	2	2	no	—
93	C₂×#103	—	2	2	no	—
94	C₂×#103	—	4	4	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#391	—	2	2	no	—
101	#391	—	2	2	no	—
102	#391	—	4	2	no	—
103	C₂×#95	—	4	2	no	—
104	#358	—	2	8	no	—
105	#357	—	2	8	no	—
106	C₂×#41	—	2	8	no	—
107	C₂×#41	—	4	4	no	—
108	C₂×#41	—	4	4	no	—
109	C₂×#41	—	4	4	no	—
110	C₂×#41	—	4	4	no	—
111	C₂×#41	—	4	4	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
116	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
117	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
118	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
126	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
127	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	#135	—	2	16	no	—
130	#135	—	2	16	no	—
131	#135	—	4	32	no	—
132	#135	—	4	8	no	—
133	#135	—	4	8	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
150	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
153	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
154	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
155	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
156	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
157	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
158	C₂×D₈	—	2	4	no	—
159	C₂×D₈	—	2	2	no	—
160	C₂×D₈	—	2	2	no	—
161	C₂×D₈	—	2	2	no	—
162	C₂×D₈	—	2	2	no	—
163	C₂×D₈	—	2	2	no	—
164	C₂×D₈	—	4	2	no	—
165	C₂×D₈	—	4	2	no	—
166	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	D₈	1	4	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
180	#127	—	2	4	no	—
181	#127	—	4	2	no	—
182	#124	—	2	8	no	—
183	#124	—	4	4	no	—
184	#121	—	4	16	no	—
185	C₄×D₄	—	4	16	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	Q₃₂	—	2	32	no	—
198	SD₃₂	—	2	32	no	—
199	M₃₂	—	2	16	no	—
200	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
201	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
202	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
203	#107	—	2	4	no	—
204	#107	—	4	2	no	—
205	#103	—	4	4	no	—
206	#103	—	4	4	no	—
207	C₄×C₈	—	2	2	no	—
208	C₄×C₈	—	2	2	no	—
209	C₄×C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	#95	—	4	4	no	—
212	#95	—	4	4	no	—
213	C₂⁴	—	4	2	no	—
214	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
215	#41	—	4	16	no	—
216	#41	—	4	16	no	—
217	#41	—	8	8	no	—
218	#41	—	8	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	8	4	no	—
247	C₂×D₄	—	8	4	no	—
248	C₂×D₄	—	8	4	no	—
249	C₂×D₄	—	8	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
274	Q₁₆	—	2	8	no	—
275	Q₁₆	—	2	4	no	—
276	Q₁₆	—	2	4	no	—
277	Q₁₆	—	4	8	no	—
278	Q₁₆	—	4	2	no	—
279	Q₁₆	—	4	4	no	—
280	Q₁₆	—	4	2	no	—
281	Q₁₆	—	4	8	no	—
282	SD₁₆	—	4	16	no	—
283	SD₁₆	—	4	16	no	—
284	D₈	—	2	4	no	—
285	D₈	—	2	4	no	—
286	D₈	—	4	8	no	—
287	D₈	—	4	2	no	—
288	D₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	1	no	—
290	C₂×C₈	—	2	1	no	—
291	C₂×C₈	—	2	1	no	—
292	C₂×C₈	—	2	1	no	—
293	C₂×C₈	—	2	8	no	—
294	C₂×C₈	#120	1	8	yes	—
295	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
297	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
299	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
305	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
310	C₄²	—	2	1	no	—
311	C₄²	—	2	1	no	—
312	C₄²	—	2	1	no	—
313	C₄²	—	2	1	no	—
314	C₄²	—	2	4	no	—
315	C₁₆	—	2	8	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	8	2	no	—
320	C₂³	—	8	4	no	—
321	C₂³	—	8	4	no	—
322	C₂³	—	8	2	no	—
323	C₂³	#447	1	2	yes	—
324	C₂³	#459	1	2	yes	—
325	C₂³	#493	1	2	yes	—
326	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
327	Q₈	—	4	4	no	—
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	Q₈	—	4	4	no	—
330	Q₈	—	4	4	no	—
331	Q₈	—	8	2	no	—
332	Q₈	—	8	2	no	—
333	Q₈	—	8	2	no	—
334	Q₈	—	8	2	no	—
335	Q₈	—	8	8	no	—
336	D₄	—	4	4	no	—
337	D₄	—	4	4	no	—
338	D₄	—	8	16	no	—
339	D₄	—	8	16	no	—
340	D₄	—	8	2	no	—
341	D₄	—	8	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	8	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	4	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	8	no	—
355	C₂×C₄	—	8	16	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	16	4	no	—
359	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	#510	1	4	yes	complemented
367	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	#392	1	4	yes	—
376	C₈	C₂×#120	1	2	yes	—
377	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	2	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	2	4	no	—
382	C₂²	—	8	4	no	—
383	C₂²	—	8	8	no	—
384	C₂²	—	16	4	no	—
385	C₂²	—	16	2	no	—
386	C₂²	—	16	2	no	—
387	C₂²	#2011	1	4	yes	—
388	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂×#510	1	2	yes	—
392	C₂²	#3414	1	2	yes	—
393	C₄	—	2	4	no	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	—	8	4	no	—
396	C₄	—	8	4	no	—
397	C₄	—	16	2	no	—
398	C₄	#2011	1	4	yes	—
399	C₄	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
400	C₄	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
401	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
402	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
403	C₂	—	2	4	no	—
404	C₂	—	16	4	no	—
405	C₂	C₂×#2011	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#33521	1	2	yes	—
407	C₂	#33581	1	2	yes	—
408	C₂	#33718	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#33719	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#510	C₂	semidirect
3. C₂×#2139	C₂	semidirect
4. C₂×#1969	C₂	semidirect
5. #13330	C₂	semidirect
6. #13329	C₂	semidirect
7. #13328	C₂	semidirect
8. #12544	C₂	semidirect
54. C₂²×Q₁₆	D₄	semidirect
81. C₂×M₃₂	D₄	semidirect
366. C₂×C₄	#510	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#510	2
C₂×#3147	2
C₂×#2139	2
C₂×#1969	2
#13330	2
#13329	2
#13328	2
#12544	2