Subgroups — #498853

Order 512.

1918 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#509	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2140	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21224	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13328	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#13325	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#12544	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂³×D₈	—	2	1	no	—
10	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#127	—	2	1	no	—
12	C₂×#509	—	2	8	no	—
13	C₂×#509	—	2	8	no	—
14	C₂×#509	—	2	8	no	—
15	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	4	yes	complemented
16	C₂²×D₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#493	—	2	2	no	—
19	C₂×#493	—	2	8	no	—
20	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#416	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2297	—	2	1	no	—
25	#2140	—	2	8	no	—
26	C₂×#357	C₂²	1	8	yes	complemented
27	#1970	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#1969	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#1968	—	2	2	no	—
30	#1374	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂²×#41	—	2	1	no	—
32	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
33	C₂³×D₄	—	4	2	no	—
34	C₂×#135	—	2	4	no	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	—	2	2	no	—
37	C₂×#135	D₄	1	4	yes	complemented
38	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×SD₁₆	—	2	1	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
48	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
49	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
50	C₂²×D₈	D₄	1	8	yes	—
51	C₂²×D₈	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#127	—	2	8	no	—
56	C₂×#127	—	2	4	no	—
57	C₂×#127	—	4	4	no	—
58	C₂×#127	—	4	2	no	—
59	C₂×#117	—	2	1	no	—
60	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
61	#509	—	2	64	no	—
62	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
63	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
64	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
65	C₂×D₁₆	—	2	8	no	—
66	C₂×D₁₆	—	2	8	no	—
67	C₂×D₁₆	—	2	8	no	—
68	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
69	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
70	C₂×M₃₂	D₄	1	8	yes	complemented
71	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
72	#493	—	2	16	no	—
73	#493	—	2	16	no	—
74	#427	—	2	4	no	—
75	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#106	—	2	1	no	—
77	#416	—	4	4	no	—
78	C₂×#103	—	2	2	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	#391	—	2	2	no	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#386	—	4	2	no	—
86	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
87	#357	—	2	16	no	—
88	C₂⁵	—	4	2	no	—
89	C₂×#41	—	2	4	no	—
90	C₂×#41	—	4	2	no	—
91	C₂×#41	—	4	2	no	—
92	C₂×#41	—	4	2	no	—
93	C₂×#41	—	4	2	no	—
94	C₂×#41	—	4	2	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
99	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
110	C₂³×C₄	D₈	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	#135	—	2	16	no	—
113	#135	—	4	8	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
117	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	complemented
118	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
121	C₂×D₈	—	2	16	no	—
122	C₂×D₈	—	2	16	no	—
123	C₂×D₈	—	2	8	no	—
124	C₂×D₈	—	2	16	no	—
125	C₂×D₈	—	2	4	no	—
126	C₂×D₈	—	2	4	no	—
127	C₂×D₈	—	2	4	no	—
128	C₂×D₈	—	2	2	no	—
129	C₂×D₈	—	2	2	no	—
130	C₂×D₈	—	2	4	no	—
131	C₂×D₈	—	2	4	no	—
132	C₂×D₈	—	2	1	no	—
133	C₂×D₈	—	4	8	no	—
134	C₂×D₈	—	4	32	no	—
135	C₂×D₈	—	4	8	no	—
136	C₂×D₈	—	4	8	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	—	4	4	no	—
139	C₂×D₈	—	4	8	no	—
140	C₂×D₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	complemented
142	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	D₈	1	4	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	#127	—	2	16	no	—
153	#127	—	4	8	no	—
154	#127	—	4	16	no	—
155	#117	—	4	2	no	—
156	#117	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
163	C₂×C₄²	D₈	1	2	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	SD₃₂	—	2	32	no	—
166	D₁₆	—	2	32	no	—
167	M₃₂	—	2	16	no	—
168	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
169	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
170	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
171	#107	—	2	4	no	—
172	#106	—	4	2	no	—
173	#103	—	4	4	no	—
174	#102	—	4	4	no	—
175	C₄×C₈	—	2	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	4	no	—
177	#95	—	4	4	no	—
178	C₂⁴	—	4	1	no	—
179	C₂⁴	—	4	4	no	—
180	C₂⁴	—	4	8	no	—
181	C₂⁴	—	8	16	no	—
182	C₂⁴	—	8	4	no	—
183	C₂⁴	—	8	4	no	—
184	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
185	#41	—	4	8	no	—
186	#41	—	4	8	no	—
187	#41	—	8	4	no	—
188	#41	—	8	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
194	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
195	C₂×D₄	—	2	8	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	32	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	1	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	1	no	—
203	C₂×D₄	—	4	1	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	1	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	1	no	—
209	C₂×D₄	—	4	16	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	8	no	—
212	C₂×D₄	—	8	64	no	—
213	C₂×D₄	—	8	16	no	—
214	C₂×D₄	—	8	2	no	—
215	C₂×D₄	—	8	2	no	—
216	C₂×D₄	—	8	8	no	—
217	C₂×D₄	—	8	4	no	—
218	C₂×D₄	—	8	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	8	no	—
220	C₂×D₄	—	8	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
228	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	Q₁₆	—	2	4	no	—
238	Q₁₆	—	4	2	no	—
239	SD₁₆	—	4	8	no	—
240	D₈	—	2	4	no	—
241	D₈	—	2	8	no	—
242	D₈	—	2	8	no	—
243	D₈	—	4	32	no	—
244	D₈	—	4	4	no	—
245	D₈	—	4	4	no	—
246	D₈	—	4	2	no	—
247	D₈	—	4	16	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	#120	1	8	yes	—
252	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
254	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
255	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂×D₈	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	8	2	no	—
269	C₁₆	—	2	8	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	4	8	no	—
272	C₂³	—	4	2	no	—
273	C₂³	—	8	32	no	—
274	C₂³	—	8	1	no	—
275	C₂³	—	8	4	no	—
276	C₂³	—	8	4	no	—
277	C₂³	—	8	16	no	—
278	C₂³	—	8	1	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	—	8	16	no	—
281	C₂³	—	16	16	no	—
282	C₂³	—	16	16	no	—
283	C₂³	#447	1	2	yes	—
284	C₂³	#459	1	2	yes	—
285	C₂³	#493	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	4	2	no	—
288	Q₈	—	4	2	no	—
289	Q₈	—	8	1	no	—
290	Q₈	—	8	1	no	—
291	D₄	—	4	8	no	—
292	D₄	—	4	2	no	—
293	D₄	—	4	8	no	—
294	D₄	—	4	2	no	—
295	D₄	—	8	64	no	—
296	D₄	—	8	8	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	D₄	—	8	1	no	—
299	D₄	—	8	1	no	—
300	D₄	—	8	4	no	—
301	D₄	—	8	16	no	—
302	C₂×C₄	—	2	16	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	1	no	—
307	C₂×C₄	—	8	1	no	—
308	C₂×C₄	—	8	8	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#447	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#459	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#493	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#509	1	8	yes	complemented
319	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
325	C₈	—	2	4	no	—
326	C₈	#392	1	4	yes	—
327	C₈	C₂×#120	1	2	yes	—
328	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	8	4	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	8	8	no	—
335	C₂²	—	8	16	no	—
336	C₂²	—	16	32	no	—
337	C₂²	—	16	8	no	—
338	C₂²	—	16	2	no	—
339	C₂²	—	16	8	no	—
340	C₂²	—	16	2	no	—
341	C₂²	#2011	1	4	yes	—
342	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	C₂×#509	1	4	yes	—
346	C₄	—	2	8	no	—
347	C₄	—	8	2	no	—
348	C₄	—	16	2	no	—
349	C₄	#2011	1	4	yes	—
350	C₄	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
351	C₄	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
352	C₄	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
353	C₄	C₂×#496	1	1	yes	characteristic
354	C₂	—	2	4	no	—
355	C₂	—	16	2	no	—
356	C₂	—	16	8	no	—
357	C₂	C₂×#2011	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#33517	1	2	yes	—
359	C₂	#33582	1	2	yes	—
360	C₂	#33717	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#509	C₂	semidirect
2. C₂²×#493	C₂	semidirect
3. C₂×#2140	C₂	semidirect
4. #21224	C₂	semidirect
5. #13328	C₂	semidirect
6. #13325	C₂	semidirect
7. #12544	C₂	semidirect
15. C₂²×SD₃₂	C₂²	semidirect
16. C₂²×D₁₆	C₂²	semidirect
26. C₂×#357	C₂²	semidirect
27. #1970	C₂²	semidirect
28. #1969	C₂²	semidirect
30. #1374	C₂²	semidirect
37. C₂×#135	D₄	semidirect
70. C₂×M₃₂	D₄	semidirect
117. C₂×Q₁₆	C₂×D₄	semidirect
141. C₂×D₈	C₂×D₄	semidirect
170. C₂×C₁₆	C₂×D₄	semidirect
318. C₂×C₄	#509	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#509	2
C₂²×#493	2
C₂×#2140	2
#21224	2
#13328	2
#13325	2
#12544	2