Subgroups — #499001

Order 512.

1182 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2159	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2140	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#357	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#2113	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13381	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#13380	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#12556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#535	—	2	1	no	—
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#3058	—	2	4	no	—
16	#3058	—	2	4	no	—
17	C₂×#469	—	2	2	no	—
18	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#418	—	2	1	no	—
24	#2311	—	2	1	no	—
25	#2159	—	2	4	no	—
26	C₂×#367	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#2140	—	2	4	no	—
29	C₂×#357	—	2	4	no	—
30	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
32	#2113	—	2	4	no	—
33	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1809	—	2	2	no	—
35	#1808	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#1736	—	2	1	no	—
37	#1380	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#1380	C₂²	1	2	yes	complemented
39	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₈	D₄	1	4	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#131	—	2	2	no	—
50	C₂×#131	—	2	2	no	—
51	C₂×#131	—	2	2	no	—
52	C₂×#131	—	2	2	no	—
53	C₂×#131	—	2	2	no	—
54	C₂×#131	—	2	2	no	—
55	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#535	—	2	8	no	—
60	#535	—	4	4	no	—
61	C₂×#127	—	4	1	no	—
62	C₂×#124	—	4	1	no	—
63	C₂×#121	—	2	2	no	—
64	C₂×#121	—	2	2	no	—
65	C₂×#120	—	4	2	no	—
66	C₂×#117	—	2	1	no	—
67	C₂×#117	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
69	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
70	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
71	C₂×M₃₂	D₄	1	4	yes	complemented
72	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
77	#469	—	2	16	no	—
78	#466	—	2	4	no	—
79	#466	—	2	4	no	—
80	#466	—	2	4	no	—
81	#466	—	2	4	no	—
82	#427	—	2	2	no	—
83	#427	—	2	2	no	—
84	#427	—	2	2	no	—
85	#427	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×#107	—	2	2	no	—
87	C₂×#107	—	2	2	no	—
88	C₂×#107	—	2	1	no	—
89	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#106	—	2	1	no	—
94	C₂×#106	—	2	1	no	—
95	#418	—	2	8	no	—
96	C₂×#102	—	2	2	no	—
97	C₂×#102	—	2	2	no	—
98	#391	—	4	1	no	—
99	#390	—	4	1	no	—
100	#386	—	4	2	no	—
101	#380	—	2	4	no	—
102	#367	—	2	4	no	—
103	#366	—	2	4	no	—
104	#357	—	2	8	no	—
105	#357	—	2	8	no	—
106	C₂²⋊C₁₆	—	2	8	no	—
107	#340	—	2	4	no	—
108	C₂⁵	—	4	1	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₄	D₈	1	2	yes	—
127	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×D₈	—	2	4	no	—
132	C₂×D₈	—	2	8	no	—
133	C₂×D₈	—	2	8	no	—
134	C₂×D₈	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	2	no	—
136	C₂×D₈	—	2	2	no	—
137	C₂×D₈	—	2	2	no	—
138	C₂×D₈	—	2	2	no	—
139	C₂×D₈	—	4	4	no	—
140	C₂×D₈	—	4	2	no	—
141	C₂×D₈	—	4	2	no	—
142	C₂×D₈	—	4	4	no	—
143	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	#131	—	4	4	no	—
145	#131	—	4	4	no	—
146	#131	—	4	4	no	—
147	#131	—	4	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
169	#127	—	4	8	no	—
170	#124	—	4	8	no	—
171	#121	—	2	8	no	—
172	#121	—	2	8	no	—
173	#121	—	4	4	no	—
174	#121	—	4	4	no	—
175	#120	—	4	16	no	—
176	#117	—	2	4	no	—
177	#117	—	4	2	no	—
178	#117	—	4	2	no	—
179	#117	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
188	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
190	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
192	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
193	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
194	M₃₂	—	2	8	no	—
195	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
196	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
197	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
198	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
199	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
200	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
201	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	#107	—	2	1	no	—
203	#107	—	2	1	no	—
204	#107	—	2	2	no	—
205	#107	—	2	2	no	—
206	#107	—	2	2	no	—
207	#107	—	2	2	no	—
208	#107	—	4	2	no	—
209	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
210	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
211	#106	—	2	4	no	—
212	#106	—	4	2	no	—
213	#102	—	2	8	no	—
214	#102	—	2	8	no	—
215	#95	—	4	4	no	—
216	C₂⁴	—	4	2	no	—
217	C₂⁴	—	4	4	no	—
218	C₂⁴	—	8	2	no	—
219	C₂⁴	—	8	2	no	—
220	C₂⁴	—	16	2	no	—
221	C₂⁴	—	16	2	no	—
222	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
223	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
224	#41	—	4	4	no	—
225	#41	—	4	4	no	—
226	#41	—	4	4	no	—
227	#41	—	4	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	8	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	8	no	—
248	C₂×D₄	—	8	2	no	—
249	C₂×D₄	—	8	4	no	—
250	C₂×D₄	—	8	2	no	—
251	C₂×D₄	—	8	4	no	—
252	C₂×D₄	—	16	4	no	—
253	C₂×D₄	—	16	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
266	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	D₈	—	2	4	no	—
276	D₈	—	2	4	no	—
277	D₈	—	4	2	no	—
278	D₈	—	4	2	no	—
279	D₈	—	4	8	no	—
280	M₁₆	—	4	4	no	—
281	M₁₆	—	4	8	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	4	2	no	—
286	C₂×C₈	—	4	2	no	—
287	C₂×C₈	—	4	2	no	—
288	C₂×C₈	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
291	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
293	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
294	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
296	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
316	C₄²	—	4	4	no	—
317	C₄²	—	8	2	no	—
318	C₁₆	—	2	4	no	—
319	C₁₆	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	2	2	no	—
322	C₂³	—	2	2	no	—
323	C₂³	—	2	4	no	—
324	C₂³	—	2	4	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	2	2	no	—
327	C₂³	—	4	4	no	—
328	C₂³	—	8	2	no	—
329	C₂³	—	8	4	no	—
330	C₂³	—	8	4	no	—
331	C₂³	—	8	2	no	—
332	C₂³	—	8	8	no	—
333	C₂³	—	16	4	no	—
334	C₂³	—	16	4	no	—
335	C₂³	—	16	8	no	—
336	C₂³	—	16	8	no	—
337	C₂³	#447	1	2	yes	—
338	C₂³	#466	1	2	yes	—
339	C₂³	#480	1	2	yes	—
340	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
341	Q₈	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	8	no	—
343	D₄	—	4	4	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	D₄	—	8	2	no	—
347	D₄	—	8	2	no	—
348	D₄	—	8	8	no	—
349	D₄	—	16	8	no	—
350	D₄	—	16	8	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	2	no	—
361	C₂×C₄	—	8	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	4	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	16	4	no	—
368	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#452	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#468	1	4	yes	—
373	C₂×C₄	#480	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#482	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
381	C₈	—	4	2	no	—
382	C₈	#394	1	4	yes	—
383	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
384	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
385	C₈	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
386	C₈	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	—	2	4	no	—
388	C₂²	—	2	4	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	2	2	no	—
391	C₂²	—	4	4	no	—
392	C₂²	—	4	4	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	4	2	no	—
395	C₂²	—	4	2	no	—
396	C₂²	—	8	4	no	—
397	C₂²	—	8	4	no	—
398	C₂²	—	8	4	no	—
399	C₂²	—	16	16	no	—
400	C₂²	—	16	4	no	—
401	C₂²	—	16	4	no	—
402	C₂²	#2033	1	4	yes	—
403	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	C₂×#480	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#3415	1	2	yes	—
407	C₂²	#3416	1	2	yes	—
408	C₄	—	4	2	no	—
409	C₄	—	8	2	no	—
410	C₄	—	8	2	no	—
411	C₄	—	16	2	no	—
412	C₄	—	16	2	no	—
413	C₄	#2033	1	4	yes	—
414	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
415	C₄	C₂×#452	1	1	yes	characteristic
416	C₄	C₂×#468	1	1	yes	characteristic
417	C₄	C₂×#482	1	1	yes	characteristic
418	C₂	—	2	4	no	—
419	C₂	—	8	2	no	—
420	C₂	—	16	4	no	—
421	C₂	C₂×#2033	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#33522	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#33523	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#33612	1	2	yes	—
425	C₂	#33650	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#3058	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#41 ◁ C₂²×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2159	C₂	semidirect
3. C₂×#2140	C₂	semidirect
4. C₂²×#357	C₂	semidirect
5. C₂×#2113	C₂	semidirect
6. #20663	C₂	semidirect
7. #13381	C₂	semidirect
8. #13380	C₂	semidirect
9. #12556	C₂	semidirect
26. C₂×#367	C₂²	semidirect
27. C₂×#366	C₂²	semidirect
33. C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	semidirect
35. #1808	C₂²	semidirect
37. #1380	C₂²	semidirect
38. #1380	C₂²	semidirect
71. C₂×M₃₂	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3058	2
C₂×#2159	2
C₂×#2140	2
C₂²×#357	2
C₂×#2113	2
#20663	2
#13381	2
#13380	2
#12556	2