Subgroups — #499073

Order 512.

1200 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60643	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2145	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2139	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21156	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13410	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#12551	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#575	—	2	1	no	—
8	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
9	#3449	—	2	1	no	—
10	C₂²×M₃₂	C₂²	1	2	yes	—
11	#3156	—	2	2	no	—
12	#3155	—	2	2	no	—
13	#3154	—	2	4	no	—
14	#3150	C₂²	1	4	yes	—
15	#3147	—	2	2	no	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2317	—	2	1	no	—
20	#2145	—	2	8	no	—
21	C₂×#360	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#2139	—	2	4	no	—
23	#2139	C₂²	1	8	yes	complemented
24	C₂×#358	—	2	2	no	—
25	C₂×#357	—	2	2	no	—
26	#1944	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#1942	—	2	2	no	—
28	#1736	—	2	1	no	—
29	#1377	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂²×#41	—	2	2	no	—
31	#575	—	4	4	no	—
32	#575	—	4	4	no	—
33	C₂×#137	—	2	4	no	—
34	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
35	C₂×#135	—	2	2	no	—
36	C₂×#135	—	2	4	no	—
37	C₂×#135	—	2	2	no	—
38	C₂×#135	—	2	4	no	—
39	C₂×#135	—	2	4	no	—
40	C₂×#135	—	2	4	no	—
41	C₂×#135	—	2	4	no	—
42	C₂×#135	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×#135	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	D₄	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#537	—	4	1	no	—
50	#537	—	4	1	no	—
51	#536	—	2	4	no	—
52	#535	—	2	4	no	—
53	#534	—	4	2	no	—
54	#532	—	2	4	no	—
55	#525	—	4	4	no	—
56	C₂×#117	—	2	1	no	—
57	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
59	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
60	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
61	C₂×M₃₂	—	2	4	no	—
62	C₂×M₃₂	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
64	#497	—	2	8	no	—
65	#496	—	2	8	no	—
66	#495	—	2	4	no	—
67	#495	—	2	4	no	—
68	#494	—	2	2	no	—
69	#493	—	2	2	no	—
70	#492	—	2	4	no	—
71	#427	—	2	2	no	—
72	#427	D₄	1	4	yes	complemented
73	C₂×#107	—	2	1	no	—
74	C₂×#107	—	2	2	no	—
75	C₂×#107	—	2	2	no	—
76	C₂×#107	—	2	1	no	—
77	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#106	C₂³	1	2	yes	—
79	#405	—	2	2	no	—
80	#405	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
83	#389	—	2	4	no	—
84	#385	—	4	2	no	—
85	#384	—	4	1	no	—
86	#382	—	4	1	no	—
87	#360	—	2	16	no	—
88	#358	—	2	8	no	—
89	#357	—	2	8	no	—
90	#340	—	2	4	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	4	2	no	—
94	C₂×#41	—	4	2	no	—
95	C₂×#41	—	4	4	no	—
96	C₂×#41	—	4	4	no	—
97	C₂×#41	—	4	4	no	—
98	C₂×#41	—	4	4	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	#137	—	4	16	no	—
106	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
107	#135	—	2	8	no	—
108	#135	—	2	8	no	—
109	#135	—	2	4	no	—
110	#135	—	2	4	no	—
111	#135	—	2	4	no	—
112	#135	—	2	4	no	—
113	#135	—	4	8	no	—
114	#135	—	4	4	no	—
115	#135	—	4	4	no	—
116	#135	—	4	4	no	—
117	#135	—	4	4	no	—
118	#135	—	4	8	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
129	C₂×D₈	—	2	4	no	—
130	C₂×D₈	—	2	2	no	—
131	C₂×D₈	—	2	4	no	—
132	C₂×D₈	—	2	4	no	—
133	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	SD₁₆	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
145	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	#127	—	2	4	no	—
147	#124	—	2	8	no	—
148	#123	—	4	8	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
151	#121	—	4	4	no	—
152	#121	—	4	4	no	—
153	#121	—	4	4	no	—
154	#121	—	4	4	no	—
155	#120	—	4	8	no	—
156	C₄×D₄	—	4	4	no	—
157	C₄×D₄	—	4	4	no	—
158	#117	—	2	2	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	M₃₂	—	2	4	no	—
175	M₃₂	—	2	4	no	—
176	M₃₂	—	4	4	no	—
177	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
178	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
179	#107	—	2	4	no	—
180	#107	—	2	4	no	—
181	#107	—	4	1	no	—
182	#107	—	4	1	no	—
183	#106	—	2	2	no	—
184	#106	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	#97	—	2	4	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	#95	—	4	4	no	—
189	C₂⁴	—	4	2	no	—
190	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	#41	—	4	4	no	—
194	#41	—	4	4	no	—
195	#41	—	4	8	no	—
196	#41	—	4	8	no	—
197	#41	—	8	4	no	—
198	#41	—	8	4	no	—
199	#41	—	8	4	no	—
200	#41	—	8	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	8	4	no	—
214	C₂×D₄	—	8	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
224	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	Q₁₆	—	2	4	no	—
235	Q₁₆	—	2	4	no	—
236	Q₁₆	—	4	8	no	—
237	Q₁₆	—	4	4	no	—
238	SD₁₆	—	4	16	no	—
239	SD₁₆	—	4	4	no	—
240	SD₁₆	—	4	4	no	—
241	SD₁₆	—	4	8	no	—
242	D₈	—	2	4	no	—
243	D₈	—	2	4	no	—
244	D₈	—	4	8	no	—
245	D₈	—	4	4	no	—
246	M₁₆	—	2	8	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
253	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
258	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	4	4	no	—
279	C₁₆	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	1	no	—
281	C₂³	—	4	1	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	8	4	no	—
284	C₂³	—	16	2	no	—
285	C₂³	—	16	2	no	—
286	C₂³	#447	1	2	yes	—
287	C₂³	#459	1	2	yes	—
288	C₂³	#486	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	4	4	no	—
291	Q₈	—	4	4	no	—
292	Q₈	—	8	4	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	8	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	D₄	—	16	4	no	—
300	D₄	—	16	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	8	no	—
313	C₂×C₄	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	16	4	no	—
316	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#450	1	4	yes	—
319	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	#460	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#486	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	#490	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
329	C₈	—	2	4	no	—
330	C₈	#394	1	2	yes	—
331	C₈	#394	1	2	yes	—
332	C₈	C₂×#121	1	2	yes	—
333	C₈	C₂×#123	1	2	yes	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	1	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	16	8	no	—
344	C₂²	#2041	1	4	yes	—
345	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	8	4	no	—
351	C₄	—	8	4	no	—
352	C₄	—	16	2	no	—
353	C₄	#2041	1	4	yes	—
354	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
355	C₄	C₂×#450	1	1	yes	characteristic
356	C₄	C₂×#460	1	1	yes	characteristic
357	C₄	C₂×#490	1	1	yes	characteristic
358	C₂	—	2	1	no	—
359	C₂	—	2	4	no	—
360	C₂	—	2	1	no	—
361	C₂	—	16	4	no	—
362	C₂	C₂×#2041	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#33531	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#33532	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#447
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	#60643	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2145	C₂	semidirect
3. C₂×#2139	C₂	semidirect
4. #21156	C₂	semidirect
5. #13410	C₂	semidirect
6. #12551	C₂	semidirect
21. C₂×#360	C₂²	semidirect
23. #2139	C₂²	semidirect
26. #1944	C₂²	semidirect
29. #1377	C₂²	semidirect
72. #427	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60643	2
C₂×#2145	2
C₂×#2139	2
#21156	2
#13410	2
#12551	2