Subgroups — #499170

Order 512.

1094 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×SD₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2141	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2140	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#21233	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#21232	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13449	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#12556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×SD₃₂	—	2	4	no	—
12	C₂²×SD₃₂	—	2	4	no	—
13	C₂²×SD₃₂	—	2	4	no	—
14	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#419	—	2	1	no	—
20	C₂×#418	—	2	1	no	—
21	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2310	—	2	1	no	—
23	#2309	—	2	1	no	—
24	#2151	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#2141	—	2	4	no	—
27	#2140	—	2	4	no	—
28	C₂×#358	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#357	C₂²	1	4	yes	—
30	#1972	—	2	2	no	—
31	#1971	—	2	2	no	—
32	#1970	C₂²	1	4	yes	—
33	#1969	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#1380	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
38	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
50	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
51	C₂²×D₈	D₄	1	4	yes	—
52	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	—	2	1	no	—
56	C₂×#117	—	2	1	no	—
57	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×SD₃₂	—	2	32	no	—
59	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
60	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
61	C₂×SD₃₂	—	2	8	no	—
62	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
63	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
64	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
68	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
70	#427	—	2	2	no	—
71	#427	—	2	2	no	—
72	#427	—	2	2	no	—
73	#427	—	2	2	no	—
74	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#106	—	2	1	no	—
77	C₂×#106	—	2	1	no	—
78	#419	—	4	4	no	—
79	#418	—	4	4	no	—
80	C₂×#103	—	2	4	no	—
81	C₂×#102	—	2	4	no	—
82	#405	—	2	2	no	—
83	#405	—	2	2	no	—
84	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
86	#391	—	2	4	no	—
87	#391	—	4	2	no	—
88	#390	—	2	4	no	—
89	#390	—	4	2	no	—
90	#381	—	4	2	no	—
91	#379	—	4	2	no	—
92	C₄⋊C₁₆	—	2	8	no	—
93	#358	—	2	8	no	—
94	#357	—	2	8	no	—
95	C₂⁵	—	4	1	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
98	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
99	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
100	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
102	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
103	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
126	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂×D₈	—	2	8	no	—
128	C₂×D₈	—	2	4	no	—
129	C₂×D₈	—	2	8	no	—
130	C₂×D₈	—	2	2	no	—
131	C₂×D₈	—	2	2	no	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	—	2	2	no	—
134	C₂×D₈	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	—	4	2	no	—
136	C₂×D₈	—	4	2	no	—
137	C₂×D₈	—	4	4	no	—
138	C₂×D₈	—	4	4	no	—
139	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	#117	—	2	2	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	4	2	no	—
155	#117	—	4	2	no	—
156	#117	—	4	2	no	—
157	#117	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	SD₃₂	—	2	32	no	—
169	M₃₂	—	4	4	no	—
170	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
172	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
173	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
174	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
175	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
176	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	#107	—	2	2	no	—
178	#107	—	2	2	no	—
179	#107	—	2	2	no	—
180	#107	—	2	2	no	—
181	#106	—	4	2	no	—
182	#106	—	4	2	no	—
183	#103	—	4	8	no	—
184	#102	—	4	8	no	—
185	#97	—	2	4	no	—
186	C₄×C₈	—	2	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	#95	—	4	8	no	—
189	C₂⁴	—	4	2	no	—
190	C₂⁴	—	4	4	no	—
191	C₂⁴	—	8	2	no	—
192	C₂⁴	—	8	2	no	—
193	C₂⁴	—	16	4	no	—
194	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
195	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
204	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	8	2	no	—
218	C₂×D₄	—	8	4	no	—
219	C₂×D₄	—	8	2	no	—
220	C₂×D₄	—	8	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
227	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
236	Q₁₆	—	2	4	no	—
237	Q₁₆	—	2	4	no	—
238	Q₁₆	—	4	2	no	—
239	Q₁₆	—	4	2	no	—
240	Q₁₆	—	4	8	no	—
241	D₈	—	2	4	no	—
242	D₈	—	2	4	no	—
243	D₈	—	4	2	no	—
244	D₈	—	4	2	no	—
245	D₈	—	4	8	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
253	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
255	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
256	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
257	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	16	8	no	—
272	C₄²	—	2	2	no	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	8	2	no	—
275	C₄²	—	8	2	no	—
276	C₁₆	—	2	4	no	—
277	C₁₆	—	4	2	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	8	8	no	—
281	C₂³	—	8	8	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	16	8	no	—
285	C₂³	—	16	8	no	—
286	C₂³	—	16	8	no	—
287	C₂³	#459	1	2	yes	—
288	C₂³	#459	1	2	yes	—
289	C₂³	#466	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	4	4	no	—
292	Q₈	—	4	4	no	—
293	Q₈	—	8	8	no	—
294	Q₈	—	8	2	no	—
295	Q₈	—	8	2	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	8	8	no	—
299	D₄	—	8	2	no	—
300	D₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	8	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#463	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#469	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
324	C₈	—	4	2	no	—
325	C₈	#394	1	4	yes	—
326	C₈	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
327	C₈	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
328	C₈	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
329	C₈	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	—	2	4	no	—
333	C₂²	—	8	8	no	—
334	C₂²	—	8	4	no	—
335	C₂²	—	16	16	no	—
336	C₂²	—	16	4	no	—
337	C₂²	—	16	4	no	—
338	C₂²	#2054	1	4	yes	—
339	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	#3416	1	4	yes	—
343	C₄	—	4	4	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	—	16	2	no	—
346	C₄	—	16	2	no	—
347	C₄	#2054	1	4	yes	—
348	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
349	C₄	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
350	C₄	C₂×#463	1	1	yes	characteristic
351	C₄	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
352	C₂	—	2	4	no	—
353	C₂	—	16	4	no	—
354	C₂	C₂×#2054	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#33586	1	2	yes	—
356	C₂	#33587	1	2	yes	—
357	C₂	#33609	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ C₂×#405 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2151	C₂	semidirect
3. C₂×#2141	C₂	semidirect
6. #21232	C₂	semidirect
7. #13449	C₂	semidirect
8. #12556	C₂	semidirect
25. C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
28. C₂×#358	C₂²	semidirect
33. #1969	C₂²	semidirect
34. #1380	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×SD₃₂	2
C₂×#2151	2
C₂×#2141	2
C₂×#2140	2
#21233	2
#21232	2
#13449	2
#12556	2