Subgroups — #499500

Order 512.

591 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×D₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#33420	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₄×#472	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13517	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13470	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13439	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#13313	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₄×#368	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₄×#361	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#472	C₂²	1	2	yes	—
14	C₄×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₄×D₁₆	—	2	2	no	—
18	C₄×D₁₆	—	2	2	no	—
19	#2164	—	2	2	no	—
20	#2162	—	2	2	no	—
21	C₂×#368	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2151	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2151	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
28	#2113	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2113	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1978	C₂²	1	2	yes	—
33	#1952	C₂²	1	2	yes	—
34	#1931	—	2	2	no	—
35	#1907	—	2	2	no	—
36	#1816	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄×#108	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×#100	—	2	2	no	—
39	#1387	C₂²	1	2	yes	—
40	#1387	C₂²	1	2	yes	—
41	#1381	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1381	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#472	—	2	4	no	—
56	#472	—	2	4	no	—
57	#442	—	4	2	no	—
58	#440	—	4	2	no	—
59	C₄×SD₁₆	—	4	2	no	—
60	C₄×D₈	—	2	2	no	—
61	C₄×D₈	—	2	2	no	—
62	C₄×D₈	—	2	2	no	—
63	C₄×D₈	—	2	2	no	—
64	C₄×D₈	—	4	2	no	—
65	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
67	#428	—	2	2	no	—
68	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
69	#418	—	2	2	no	—
70	#417	—	2	2	no	—
71	C₂×#102	—	2	2	no	—
72	C₂×#100	—	2	2	no	—
73	C₂×#100	—	2	2	no	—
74	#405	—	2	1	no	—
75	#405	—	2	1	no	—
76	#405	D₄	1	1	yes	characteristic
77	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄×M₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#368	—	2	4	no	—
84	#366	—	2	2	no	—
85	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
86	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
87	#361	—	2	4	no	—
88	#361	—	2	4	no	—
89	#357	—	2	4	no	—
90	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
91	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
92	#346	—	2	1	no	—
93	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
94	C₄×C₁₆	D₄	1	2	yes	—
95	C₄×C₁₆	D₄	1	2	yes	—
96	#343	—	2	2	no	—
97	#343	—	2	2	no	—
98	#341	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
102	AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
103	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
104	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
105	C₂×D₈	—	2	2	no	—
106	C₂×D₈	—	2	2	no	—
107	C₂×D₈	—	2	2	no	—
108	C₂×D₈	—	2	2	no	—
109	C₂×D₈	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	4	2	no	—
111	C₂×D₈	#41	1	4	yes	—
112	#131	—	2	2	no	—
113	#131	—	2	2	no	—
114	#131	—	4	2	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₄×Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
126	C₄×Q₈	D₈	1	1	yes	characteristic
127	C₄×D₄	—	2	1	no	—
128	C₄×D₄	—	2	1	no	—
129	C₄×D₄	—	4	2	no	—
130	C₄×D₄	—	4	2	no	—
131	C₄×D₄	—	4	2	no	—
132	C₄×D₄	—	4	2	no	—
133	C₄×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
134	C₄×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
135	#117	—	2	1	no	—
136	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
140	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	D₁₆	—	2	8	no	—
142	M₃₂	—	2	2	no	—
143	M₃₂	—	2	2	no	—
144	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
147	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	#108	—	2	2	no	—
151	#108	—	2	2	no	—
152	#108	—	2	2	no	—
153	#108	#41	1	4	yes	—
154	#107	—	2	2	no	—
155	#107	—	2	2	no	—
156	#107	—	4	2	no	—
157	#106	—	4	2	no	—
158	#103	—	4	2	no	—
159	#102	—	4	2	no	—
160	#102	—	4	2	no	—
161	#102	—	4	2	no	—
162	#102	—	4	2	no	—
163	#102	—	4	2	no	—
164	#100	—	2	8	no	—
165	#100	—	4	4	no	—
166	#97	—	2	1	no	—
167	#97	—	2	1	no	—
168	#97	—	2	1	no	—
169	#97	—	4	2	no	—
170	C₄×C₈	—	2	1	no	—
171	C₄×C₈	—	2	1	no	—
172	C₄×C₈	—	2	1	no	—
173	C₄×C₈	—	4	2	no	—
174	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
177	C₄×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
178	C₂⁴	—	4	2	no	—
179	#41	—	2	2	no	—
180	#41	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂×D₄	—	2	1	no	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	4	2	no	—
186	C₂×D₄	—	4	2	no	—
187	C₂×D₄	—	4	2	no	—
188	C₂×D₄	—	4	2	no	—
189	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	16	4	no	—
197	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	SD₁₆	—	4	8	no	—
201	D₈	—	2	4	no	—
202	D₈	—	2	4	no	—
203	D₈	—	4	8	no	—
204	D₈	—	4	2	no	—
205	D₈	—	4	2	no	—
206	M₁₆	—	2	2	no	—
207	M₁₆	—	2	4	no	—
208	M₁₆	—	2	2	no	—
209	M₁₆	—	4	2	no	—
210	M₁₆	—	4	2	no	—
211	M₁₆	—	4	2	no	—
212	M₁₆	—	4	2	no	—
213	M₁₆	—	4	2	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	1	no	—
216	C₂×C₈	—	2	1	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	2	no	—
219	C₂×C₈	—	4	1	no	—
220	C₂×C₈	—	4	1	no	—
221	C₂×C₈	—	4	2	no	—
222	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₈	#121	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₈	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
233	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
239	C₄²	—	2	1	no	—
240	C₄²	—	2	1	no	—
241	C₄²	—	2	1	no	—
242	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
243	C₄²	#121	1	1	yes	characteristic
244	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
245	C₄²	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
246	C₁₆	—	2	2	no	—
247	C₁₆	—	2	2	no	—
248	C₁₆	—	4	1	no	—
249	C₁₆	—	4	1	no	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	8	2	no	—
253	C₂³	—	8	2	no	—
254	C₂³	—	16	2	no	—
255	C₂³	—	16	2	no	—
256	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
257	Q₈	—	2	2	no	—
258	D₄	—	2	2	no	—
259	D₄	—	4	2	no	—
260	D₄	—	4	4	no	—
261	D₄	—	4	4	no	—
262	D₄	—	8	2	no	—
263	D₄	—	8	2	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂×C₄	—	4	1	no	—
271	C₂×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂×C₄	—	8	2	no	—
274	C₂×C₄	—	16	4	no	—
275	C₂×C₄	—	16	4	no	—
276	C₂×C₄	—	16	2	no	—
277	C₂×C₄	#466	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#466	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#466	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#466	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	#575	1	2	yes	—
285	C₈	—	2	1	no	—
286	C₈	—	2	1	no	—
287	C₈	—	4	4	no	—
288	C₈	—	4	1	no	—
289	C₈	—	4	1	no	—
290	C₈	—	8	2	no	—
291	C₈	#525	1	1	yes	characteristic
292	C₈	#529	1	2	yes	—
293	C₈	#532	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	—	2	1	no	—
295	C₂²	—	2	1	no	—
296	C₂²	—	4	1	no	—
297	C₂²	—	4	1	no	—
298	C₂²	—	4	1	no	—
299	C₂²	—	8	4	no	—
300	C₂²	—	16	4	no	—
301	C₂²	—	16	4	no	—
302	C₂²	—	16	2	no	—
303	C₂²	—	16	2	no	—
304	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
305	C₂²	#3102	1	2	yes	—
306	C₄	—	2	1	no	—
307	C₄	—	2	1	no	—
308	C₄	—	2	1	no	—
309	C₄	—	4	1	no	—
310	C₄	—	4	1	no	—
311	C₄	—	4	1	no	—
312	C₄	—	16	2	no	—
313	C₄	#2221	1	2	yes	—
314	C₄	#2392	1	1	yes	characteristic
315	C₄	#3054	1	1	yes	characteristic
316	C₄	#3100	1	2	yes	—
317	C₂	—	2	2	no	—
318	C₂	—	8	1	no	—
319	C₂	—	16	4	no	—
320	C₂	#23696	1	1	yes	characteristic
321	C₂	C₂×#2221	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#33617	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#466
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#466
prime radical	#13313	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₄×D₁₆	C₂	semidirect
2. #33420	C₂	semidirect
3. C₄×#472	C₂	semidirect
4. #13517	C₂	semidirect
5. #13495	C₂	semidirect
6. #13470	C₂	semidirect
7. #13439	C₂	semidirect
8. #13393	C₂	semidirect
10. C₄×#368	C₂	semidirect
11. C₄×#361	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×D₁₆	2
#33420	2
C₄×#472	2
#13517	2
#13495	2
#13470	2
#13439	2
#13393	2
#13313	2
C₄×#368	2
C₄×#361	2