Subgroups — #500707

Order 512.

1067 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2188	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#2176	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#28226	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#13382	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13306	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13190	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#12814	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×D₄×Q₈	—	2	1	no	—
14	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	D₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
17	D₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
18	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#462	—	2	1	no	—
22	C₂×#451	—	2	2	no	—
23	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2536	—	2	1	no	—
27	#2209	—	2	4	no	—
28	#2188	—	2	8	no	—
29	#2176	—	2	4	no	—
30	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#2035	—	2	2	no	—
42	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1808	C₂²	1	2	yes	—
44	#1805	—	2	1	no	—
45	#1380	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
54	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
55	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
59	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
60	D₄×Q₈	—	4	4	no	—
61	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
63	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
66	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	4	1	no	—
69	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
71	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
72	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
73	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
74	C₂×Q₃₂	—	4	2	no	—
75	C₂×Q₃₂	D₄	1	4	yes	complemented
76	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#494	—	2	2	no	—
80	#494	D₄	1	4	yes	—
81	#467	—	2	4	no	—
82	#467	—	2	4	no	—
83	#467	—	2	4	no	—
84	#467	—	4	2	no	—
85	#462	—	2	8	no	—
86	#451	—	2	16	no	—
87	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
88	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
89	C₄×Q₁₆	—	2	2	no	—
90	C₄×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
91	C₈×D₄	—	2	2	no	—
92	C₈×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂×#106	—	2	1	no	—
97	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×#103	—	2	1	no	—
99	C₂×#103	—	2	2	no	—
100	C₂×#103	—	2	2	no	—
101	C₂×#103	—	2	1	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	#398	—	4	1	no	—
105	#394	—	4	1	no	—
106	#388	—	4	2	no	—
107	#382	—	2	1	no	—
108	#380	—	2	2	no	—
109	#367	—	2	2	no	—
110	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
111	#358	—	2	2	no	—
112	#358	—	2	4	no	—
113	#358	—	2	4	no	—
114	#358	—	2	4	no	—
115	#358	—	2	2	no	—
116	#358	—	4	2	no	—
117	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂²⋊C₁₆	—	4	2	no	—
119	#346	—	2	2	no	—
120	#340	—	2	2	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
127	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
128	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
129	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
130	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
131	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
153	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
157	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×Q₁₆	#41	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
176	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
177	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
178	C₂²⋊Q₈	—	8	2	no	—
179	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
180	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
181	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
182	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₄×D₄	—	2	2	no	—
184	C₄×D₄	—	2	2	no	—
185	C₄×D₄	—	4	8	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
201	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	Q₃₂	—	2	8	no	—
204	Q₃₂	—	4	8	no	—
205	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
206	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
207	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
208	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
209	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
210	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
211	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
212	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
213	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	#107	—	2	1	no	—
215	#107	—	2	1	no	—
216	#107	—	2	2	no	—
217	#107	—	2	1	no	—
218	#107	—	2	2	no	—
219	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	#106	—	8	1	no	—
221	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
222	#103	—	2	8	no	—
223	#103	—	2	4	no	—
224	#103	—	4	4	no	—
225	#103	—	4	2	no	—
226	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
227	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	#95	—	4	2	no	—
230	#95	—	4	1	no	—
231	#95	—	4	1	no	—
232	C₂⁴	C₂×D₈	1	2	yes	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
253	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
256	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
257	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
258	C₂×D₄	—	2	4	no	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
275	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	Q₁₆	—	2	2	no	—
280	Q₁₆	—	2	2	no	—
281	Q₁₆	—	2	2	no	—
282	Q₁₆	—	2	2	no	—
283	Q₁₆	—	2	4	no	—
284	Q₁₆	—	2	2	no	—
285	Q₁₆	—	2	4	no	—
286	Q₁₆	—	4	16	no	—
287	Q₁₆	—	4	2	no	—
288	Q₁₆	—	4	1	no	—
289	Q₁₆	—	4	2	no	—
290	Q₁₆	—	4	1	no	—
291	Q₁₆	—	8	4	no	—
292	Q₁₆	#121	1	4	yes	—
293	C₂×C₈	—	2	1	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₈	—	4	2	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
326	C₄²	—	4	4	no	—
327	C₄²	—	8	2	no	—
328	C₄²	#120	1	2	yes	—
329	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
330	C₁₆	—	2	2	no	—
331	C₁₆	—	4	1	no	—
332	C₁₆	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	2	2	no	—
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	2	2	no	—
337	C₂³	—	2	2	no	—
338	C₂³	—	2	2	no	—
339	C₂³	#510	1	4	yes	—
340	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
341	Q₈	—	2	4	no	—
342	Q₈	—	4	2	no	—
343	Q₈	—	4	2	no	—
344	Q₈	—	4	2	no	—
345	Q₈	—	4	4	no	—
346	Q₈	—	4	2	no	—
347	Q₈	—	4	4	no	—
348	Q₈	—	4	2	no	—
349	Q₈	—	8	16	no	—
350	Q₈	—	8	1	no	—
351	Q₈	—	8	2	no	—
352	Q₈	—	8	1	no	—
353	Q₈	—	8	2	no	—
354	D₄	—	2	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	8	16	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	1	no	—
373	C₂×C₄	—	8	2	no	—
374	C₂×C₄	—	8	2	no	—
375	C₂×C₄	—	8	1	no	—
376	C₂×C₄	—	8	2	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	8	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	1	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
389	C₈	—	2	2	no	—
390	C₈	—	4	2	no	—
391	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
392	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
393	C₈	D₄²	1	1	yes	characteristic
394	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	—	2	4	no	—
396	C₂²	—	2	4	no	—
397	C₂²	—	2	4	no	—
398	C₂²	—	4	2	no	—
399	C₂²	—	4	2	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
403	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
404	C₂²	#3294	1	1	yes	characteristic
405	C₂²	C₂×#510	1	2	yes	—
406	C₂²	#3417	1	2	yes	—
407	C₄	—	2	2	no	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	4	2	no	—
410	C₄	—	4	4	no	—
411	C₄	—	8	4	no	—
412	C₄	—	8	2	no	—
413	C₄	—	8	2	no	—
414	C₄	—	16	2	no	—
415	C₄	—	16	1	no	—
416	C₄	#2408	1	1	yes	characteristic
417	C₄	#3012	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
419	C₄	#3325	1	1	yes	characteristic
420	C₂	—	4	4	no	—
421	C₂	#24236	1	1	yes	characteristic
422	C₂	#33518	1	1	yes	characteristic
423	C₂	#33525	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#33836	1	2	yes	—
425	C₂	#33879	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	D₈
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2209	C₂	semidirect
3. C₂×#2188	C₂	semidirect
4. C₂×#2176	C₂	semidirect
6. #13382	C₂	semidirect
7. #13306	C₂	semidirect
8. #13207	C₂	semidirect
10. #12814	C₂	semidirect
11. #12732	C₂	semidirect
75. C₂×Q₃₂	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₁₆	2
C₂×#2209	2
C₂×#2188	2
C₂×#2176	2
#28226	2
#13382	2
#13306	2
#13207	2
#13190	2
#12814	2
#12732	2