Subgroups — #500830

Order 512.

990 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 303 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Q₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2216	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#24268	C₂	1	2	yes	maximal
5	#13450	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13306	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13236	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#12834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#12732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×Q₃₂	—	2	8	no	—
12	C₂²×Q₃₂	—	2	4	no	—
13	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#467	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#2409	—	2	2	no	—
20	#2216	—	2	8	no	—
21	D₄×C₁₆	—	2	4	no	—
22	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#358	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#358	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2056	—	2	2	no	—
30	#2001	—	2	2	no	—
31	#1969	C₂²	1	4	yes	—
32	#1808	C₂²	1	2	yes	—
33	#1787	—	2	2	no	—
34	#1380	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
39	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
41	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×Q₃₂	—	2	32	no	—
47	C₂×Q₃₂	—	2	8	no	—
48	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
49	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
50	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
51	C₂×Q₃₂	D₄	1	8	yes	complemented
52	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#467	—	2	8	no	—
61	#467	—	4	4	no	—
62	C₈×D₄	—	2	2	no	—
63	C₈×D₄	—	2	2	no	—
64	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#103	—	2	4	no	—
67	C₂×#103	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#395	—	4	2	no	—
72	#393	—	4	2	no	—
73	#391	—	2	4	no	—
74	#386	—	4	2	no	—
75	#385	—	4	2	no	—
76	#380	—	2	2	no	—
77	#366	—	2	4	no	—
78	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
79	#358	—	2	8	no	—
80	#358	—	4	4	no	—
81	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
82	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
83	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
84	#340	—	2	2	no	—
85	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
86	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
87	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
88	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
90	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
91	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
96	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
98	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
102	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
103	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
105	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	8	4	no	—
120	C₄×D₄	—	2	2	no	—
121	C₄×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	Q₃₂	—	2	16	no	—
131	Q₃₂	—	2	16	no	—
132	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
139	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	#107	—	2	4	no	—
143	#107	—	2	4	no	—
144	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
145	#103	—	4	8	no	—
146	#103	—	8	4	no	—
147	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₄×C₈	—	2	1	no	—
150	C₄×C₈	—	2	1	no	—
151	#95	—	4	2	no	—
152	#95	—	4	4	no	—
153	#95	—	4	4	no	—
154	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
155	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
157	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
158	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
159	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
160	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
161	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
162	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
163	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
164	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
165	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
166	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	2	no	—
168	C₂×D₄	—	2	2	no	—
169	C₂×D₄	Q₃₂	1	4	yes	complemented
170	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
179	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
180	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	Q₁₆	—	2	8	no	—
188	Q₁₆	—	2	8	no	—
189	Q₁₆	—	4	16	no	—
190	Q₁₆	—	4	4	no	—
191	Q₁₆	—	4	4	no	—
192	C₂×C₈	—	2	2	no	—
193	C₂×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂×C₈	—	2	2	no	—
195	C₂×C₈	—	2	4	no	—
196	C₂×C₈	—	2	1	no	—
197	C₂×C₈	—	2	1	no	—
198	C₂×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂×C₈	—	2	2	no	—
200	C₂×C₈	—	4	1	no	—
201	C₂×C₈	—	4	1	no	—
202	C₂×C₈	—	4	2	no	—
203	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
204	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
208	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
211	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
215	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
216	C₄²	—	2	1	no	—
217	C₄²	—	2	1	no	—
218	C₁₆	—	2	2	no	—
219	C₁₆	—	4	1	no	—
220	C₁₆	—	4	1	no	—
221	C₁₆	#120	1	4	yes	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	1	no	—
225	C₂³	—	2	2	no	—
226	C₂³	—	2	2	no	—
227	C₂³	—	2	1	no	—
228	C₂³	#466	1	2	yes	—
229	C₂³	C₂×Q₃₂	1	2	yes	—
230	C₂³	C₂×Q₃₂	1	2	yes	complemented
231	C₂³	#508	1	2	yes	—
232	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
233	Q₈	—	4	8	no	—
234	Q₈	—	4	8	no	—
235	Q₈	—	8	16	no	—
236	Q₈	—	8	4	no	—
237	Q₈	—	8	4	no	—
238	D₄	—	2	8	no	—
239	C₂×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂×C₄	—	2	1	no	—
249	C₂×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂×C₄	—	4	2	no	—
251	C₂×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂×C₄	—	8	16	no	—
254	C₂×C₄	—	8	4	no	—
255	C₂×C₄	—	8	4	no	—
256	C₂×C₄	—	8	4	no	—
257	C₂×C₄	—	8	4	no	—
258	C₂×C₄	—	8	4	no	—
259	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×Q₃₂	1	2	yes	complemented
261	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
263	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
265	C₈	—	2	2	no	—
266	C₈	—	4	1	no	—
267	C₈	—	4	1	no	—
268	C₈	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
269	C₈	#535	1	1	yes	characteristic
270	C₈	#546	1	2	yes	—
271	C₂²	—	2	4	no	—
272	C₂²	—	2	4	no	—
273	C₂²	—	2	2	no	—
274	C₂²	—	2	2	no	—
275	C₂²	—	2	4	no	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	4	2	no	—
278	C₂²	—	4	1	no	—
279	C₂²	—	4	1	no	—
280	C₂²	#2216	1	4	yes	complemented
281	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
283	C₂²	C₂²×Q₃₂	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#3417	1	2	yes	—
286	C₄	—	2	2	no	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	4	1	no	—
289	C₄	—	4	1	no	—
290	C₄	—	8	8	no	—
291	C₄	—	16	4	no	—
292	C₄	#2408	1	1	yes	characteristic
293	C₄	#3058	1	1	yes	characteristic
294	C₄	#3280	1	2	yes	—
295	C₂	—	2	4	no	—
296	C₂	—	4	2	no	—
297	C₂	#24267	1	1	yes	characteristic
298	C₂	C₂×#2216	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#33608	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#33851	1	2	yes	—
301	C₂	D₄×Q₃₂	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	D₈
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×Q₃₂	C₂	semidirect
2. C₂×#2216	C₂	semidirect
5. #13450	C₂	semidirect
6. #13306	C₂	semidirect
7. #13236	C₂	semidirect
8. #12834	C₂	semidirect
9. #12732	C₂	semidirect
51. C₂×Q₃₂	D₄	semidirect
169. C₂×D₄	Q₃₂	semidirect
230. C₂³	C₂×Q₃₂	semidirect
260. C₂×C₄	C₂×Q₃₂	semidirect
280. C₂²	#2216	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Q₃₂	2
C₂×#2216	2
C₂×D₄×C₁₆	2
#24268	2
#13450	2
#13306	2
#13236	2
#12834	2
#12732	2