Subgroups — #500867

Order 512.

916 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2227	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₄×#467	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#13451	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13364	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13276	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#12993	C₂	1	2	yes	maximal
8	#12919	C₂	1	2	yes	maximal
9	#12783	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
11	C₂×#500	—	2	8	no	—
12	C₂×#500	—	2	1	no	—
13	C₂×#500	—	2	1	no	—
14	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#500	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#107	—	2	1	no	—
19	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
22	#2227	—	2	8	no	—
23	C₂×#366	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#358	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
27	#1969	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1942	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1933	—	2	1	no	—
30	#1892	—	2	1	no	—
31	#1808	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₄×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×#103	—	2	1	no	—
34	#1380	C₂²	1	4	yes	—
35	#1380	C₂²	1	4	yes	—
36	#1374	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂³×Q₈	—	4	1	no	—
38	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
51	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	4	yes	—
53	#500	—	2	8	no	—
54	#500	—	2	8	no	—
55	#500	—	2	8	no	—
56	#500	—	2	4	no	—
57	#500	D₄	1	8	yes	—
58	#467	—	2	2	no	—
59	#467	Q₈	1	4	yes	complemented
60	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	—	2	8	no	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	—	2	2	no	—
64	C₂×#107	—	2	2	no	—
65	C₂×#107	—	2	8	no	—
66	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×#107	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#103	—	2	1	no	—
71	C₂×#103	—	2	1	no	—
72	C₂×#103	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#391	—	2	1	no	—
79	#389	—	2	1	no	—
80	#387	—	4	1	no	—
81	#385	—	4	1	no	—
82	#380	—	2	1	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
84	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
85	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
86	#366	—	2	8	no	—
87	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
88	#358	—	2	8	no	—
89	C₂²⋊C₁₆	—	2	4	no	—
90	#340	—	2	1	no	—
91	#340	—	2	1	no	—
92	#340	—	2	1	no	—
93	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
94	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
95	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
97	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
98	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
99	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
100	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×Q₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
126	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
127	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
147	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	D₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	4	no	—
154	#107	—	2	8	no	—
155	#107	—	2	8	no	—
156	#107	—	2	8	no	—
157	#107	—	2	4	no	—
158	#107	—	2	1	no	—
159	#107	—	2	2	no	—
160	#107	—	2	2	no	—
161	#107	C₂×D₄	1	8	yes	—
162	#107	C₂×Q₈	1	2	yes	complemented
163	#103	—	2	4	no	—
164	#103	—	4	2	no	—
165	#103	—	4	2	no	—
166	C₄×C₈	—	2	2	no	—
167	C₄×C₈	—	2	2	no	—
168	C₄×C₈	—	2	2	no	—
169	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	#95	—	4	1	no	—
171	#95	—	4	1	no	—
172	#95	—	4	1	no	—
173	#95	—	4	1	no	—
174	#95	—	4	1	no	—
175	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
176	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
177	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
178	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
184	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
185	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
206	C₂²×C₄	Q₃₂	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	#137	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	Q₁₆	—	2	4	no	—
216	Q₁₆	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	2	8	no	—
218	C₂×C₈	—	2	1	no	—
219	C₂×C₈	—	2	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	1	no	—
223	C₂×C₈	—	2	1	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
227	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	#137	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
237	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
245	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
249	C₄²	—	2	1	no	—
250	C₄²	—	2	1	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	8	2	no	—
254	C₄²	—	8	2	no	—
255	C₄²	#120	1	2	yes	—
256	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
257	C₁₆	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	1	no	—
262	C₂³	#474	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂×Q₃₂	1	2	yes	—
264	C₂³	#509	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
266	Q₈	—	4	2	no	—
267	Q₈	—	4	2	no	—
268	Q₈	—	8	16	no	—
269	Q₈	—	8	16	no	—
270	Q₈	—	8	1	no	—
271	Q₈	—	8	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂×C₄	—	2	1	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	2	no	—
289	C₂×C₄	—	8	16	no	—
290	C₂×C₄	—	8	1	no	—
291	C₂×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	1	no	—
294	C₂×C₄	—	8	1	no	—
295	C₂×C₄	—	8	1	no	—
296	C₂×C₄	—	8	1	no	—
297	C₂×C₄	—	8	1	no	—
298	C₂×C₄	—	8	1	no	—
299	C₂×C₄	—	8	1	no	—
300	C₂×C₄	—	8	1	no	—
301	C₂×C₄	—	8	1	no	—
302	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#447	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	#474	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×Q₃₂	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×Q₃₂	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#509	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#510	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
315	C₈	—	2	2	no	—
316	C₈	—	2	2	no	—
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	#548	1	2	yes	—
319	C₈	D₄×Q₈	1	2	yes	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	#2227	1	4	yes	complemented
327	C₂²	C₂×#447	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂×#474	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#3226	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂²×Q₃₂	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	C₂×#510	1	1	yes	characteristic
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	8	2	no	—
339	C₄	—	8	2	no	—
340	C₄	—	8	8	no	—
341	C₄	—	16	1	no	—
342	C₄	—	16	1	no	—
343	C₄	#2188	1	4	yes	—
344	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#3004	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#3079	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#3239	1	1	yes	characteristic
348	C₂	—	2	4	no	—
349	C₂	#24298	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₂×#2188	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#33517	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂×#2227	1	1	yes	characteristic
353	C₂	#33629	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#33796	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#33804	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×D₈
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2227	C₂	semidirect
4. #13451	C₂	semidirect
5. #13364	C₂	semidirect
6. #13276	C₂	semidirect
59. #467	Q₈	semidirect
106. C₂×Q₁₆	C₂×Q₈	semidirect
162. #107	C₂×Q₈	semidirect
326. C₂²	#2227	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
C₂×#2227	2
C₄×#467	2
#13451	2
#13364	2
#13276	2
#12993	2
#12919	2
#12783	2