Subgroups — #500993

Order 512.

1076 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×SD₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2211	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2188	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#25781	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²⋊C₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13449	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13060	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13013	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12912	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂²×SD₃₂	—	2	8	no	—
17	C₂²×SD₃₂	—	2	4	no	—
18	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#450	—	2	1	no	—
24	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
25	#2435	—	2	1	no	—
26	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
27	#2211	—	2	8	no	—
28	#2188	—	2	4	no	—
29	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2012	—	2	2	no	—
37	#1970	C₂²	1	2	yes	—
38	#1969	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1878	—	2	2	no	—
40	#1808	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1787	—	2	1	no	—
42	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1380	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#1374	C₂²	1	2	yes	complemented
45	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
51	C₂²×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
52	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
57	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
58	C₂²×D₈	—	2	1	no	—
59	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
60	C₂²×D₈	—	4	2	no	—
61	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#124	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
67	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
68	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
69	C₂×Q₃₂	—	4	2	no	—
70	C₂×SD₃₂	—	2	32	no	—
71	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
72	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
73	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
74	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
75	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
76	C₂×SD₃₂	D₄	1	8	yes	—
77	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
82	#495	—	2	4	no	—
83	#495	—	4	2	no	—
84	#467	—	2	2	no	—
85	#467	—	2	2	no	—
86	#450	—	4	4	no	—
87	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
88	C₄×Q₁₆	—	4	2	no	—
89	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#103	—	2	2	no	—
92	C₂×#103	—	2	1	no	—
93	C₂×#103	—	2	2	no	—
94	C₂×#102	—	2	2	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	#394	—	4	2	no	—
98	#391	—	2	2	no	—
99	#391	—	4	2	no	—
100	#390	—	2	2	no	—
101	#380	—	2	1	no	—
102	#380	—	4	1	no	—
103	#379	—	4	1	no	—
104	#379	—	4	1	no	—
105	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
108	#358	—	2	2	no	—
109	#358	—	2	2	no	—
110	#358	—	2	4	no	—
111	#357	—	2	4	no	—
112	#357	—	4	2	no	—
113	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
114	#340	—	2	1	no	—
115	#336	D₄	1	2	yes	—
116	C₂⁵	—	4	1	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
123	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
124	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
127	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
128	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
130	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
147	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
151	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
152	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
153	C₂×D₈	—	2	8	no	—
154	C₂×D₈	—	2	2	no	—
155	C₂×D₈	—	2	2	no	—
156	C₂×D₈	—	2	2	no	—
157	C₂×D₈	—	2	2	no	—
158	C₂×D₈	—	2	2	no	—
159	C₂×D₈	—	4	8	no	—
160	C₂×D₈	—	4	4	no	—
161	C₂×D₈	—	4	4	no	—
162	C₂×D₈	—	4	2	no	—
163	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
171	#124	—	4	4	no	—
172	#124	—	8	2	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
175	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
176	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
190	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	Q₃₂	—	4	4	no	—
192	Q₃₂	—	4	4	no	—
193	SD₃₂	—	2	16	no	—
194	SD₃₂	—	2	16	no	—
195	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
196	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
197	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
198	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
199	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
200	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
201	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
202	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
203	#107	—	2	2	no	—
204	#107	—	2	1	no	—
205	#107	—	2	1	no	—
206	#107	—	2	2	no	—
207	#103	—	4	4	no	—
208	#103	—	4	2	no	—
209	#103	—	8	2	no	—
210	#102	—	4	4	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	C₄×C₈	—	2	2	no	—
214	#95	—	4	2	no	—
215	#95	—	4	1	no	—
216	#95	—	4	2	no	—
217	#95	D₈	1	2	yes	—
218	C₂⁴	—	4	2	no	—
219	C₂⁴	—	8	4	no	—
220	C₂⁴	—	8	2	no	—
221	C₂⁴	—	8	2	no	—
222	C₂⁴	—	8	2	no	—
223	C₂⁴	—	16	2	no	—
224	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
225	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
226	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	4	8	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	8	8	no	—
250	C₂×D₄	—	8	4	no	—
251	C₂×D₄	—	8	4	no	—
252	C₂×D₄	—	8	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	Q₁₆	—	2	2	no	—
269	Q₁₆	—	2	2	no	—
270	Q₁₆	—	2	2	no	—
271	Q₁₆	—	2	4	no	—
272	Q₁₆	—	4	8	no	—
273	Q₁₆	—	4	1	no	—
274	Q₁₆	—	4	1	no	—
275	Q₁₆	—	4	2	no	—
276	Q₁₆	—	4	2	no	—
277	Q₁₆	#120	1	4	yes	—
278	SD₁₆	—	8	8	no	—
279	D₈	—	2	4	no	—
280	D₈	—	2	4	no	—
281	D₈	—	4	8	no	—
282	D₈	—	4	2	no	—
283	D₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
310	C₄²	—	2	2	no	—
311	C₄²	—	2	2	no	—
312	C₄²	—	8	4	no	—
313	C₁₆	—	2	4	no	—
314	C₁₆	—	4	1	no	—
315	C₁₆	—	4	1	no	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	8	8	no	—
320	C₂³	—	8	2	no	—
321	C₂³	—	8	2	no	—
322	C₂³	—	8	2	no	—
323	C₂³	—	8	2	no	—
324	C₂³	—	8	2	no	—
325	C₂³	—	8	2	no	—
326	C₂³	—	16	8	no	—
327	C₂³	—	16	8	no	—
328	C₂³	—	16	4	no	—
329	C₂³	—	16	4	no	—
330	C₂³	#459	1	2	yes	—
331	C₂³	#508	1	2	yes	—
332	C₂³	#510	1	2	yes	—
333	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
334	Q₈	—	2	4	no	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	Q₈	—	4	2	no	—
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	Q₈	—	8	8	no	—
340	Q₈	—	8	2	no	—
341	Q₈	—	8	1	no	—
342	Q₈	—	8	2	no	—
343	Q₈	—	8	1	no	—
344	D₄	—	4	4	no	—
345	D₄	—	4	4	no	—
346	D₄	—	8	8	no	—
347	D₄	—	8	2	no	—
348	D₄	—	8	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	8	8	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	2	no	—
369	C₂×C₄	—	8	1	no	—
370	C₂×C₄	—	8	1	no	—
371	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
376	C₈	—	2	2	no	—
377	C₈	—	4	2	no	—
378	C₈	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
379	C₈	#534	1	1	yes	characteristic
380	C₈	#546	1	2	yes	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	4	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	2	4	no	—
385	C₂²	—	8	4	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	16	16	no	—
389	C₂²	—	16	2	no	—
390	C₂²	—	16	2	no	—
391	C₂²	—	16	2	no	—
392	C₂²	—	16	2	no	—
393	C₂²	#2211	1	4	yes	complemented
394	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
396	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	C₂×#510	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#3416	1	2	yes	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	4	4	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	8	2	no	—
404	C₄	—	16	1	no	—
405	C₄	—	16	1	no	—
406	C₄	—	16	2	no	—
407	C₄	#2410	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#3264	1	2	yes	—
410	C₂	—	2	4	no	—
411	C₂	—	16	4	no	—
412	C₂	#24354	1	1	yes	characteristic
413	C₂	C₂×#2211	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#33587	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#33832	1	2	yes	—
416	C₂	#33848	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂³×D₈	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2211	C₂	semidirect
3. C₂×#2188	C₂	semidirect
5. C₂²⋊C₄×Q₁₆	C₂	semidirect
6. #13449	C₂	semidirect
7. #13329	C₂	semidirect
8. #13060	C₂	semidirect
9. #13013	C₂	semidirect
10. #12912	C₂	semidirect
14. C₂²×Q₃₂	C₂²	semidirect
15. C₂²×Q₃₂	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
29. C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	semidirect
30. C₂×#358	C₂²	semidirect
31. C₂×#358	C₂²	semidirect
32. C₂×#358	C₂²	semidirect
38. #1969	C₂²	semidirect
43. #1380	C₂²	semidirect
44. #1374	C₂²	semidirect
393. C₂²	#2211	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×SD₃₂	2
C₂×#2211	2
C₂×#2188	2
#25781	2
C₂²⋊C₄×Q₁₆	2
#13449	2
#13329	2
#13060	2
#13013	2
#12912	2
#12731	2