Subgroups — #500997

Order 512.

1017 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 409 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×Q₃₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2211	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2185	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#25782	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂²⋊C₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13450	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13059	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#13015	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#12912	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#12732	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×Q₃₂	—	2	8	no	—
15	C₂²×Q₃₂	—	2	4	no	—
16	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#466	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#448	—	2	1	no	—
24	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
25	#2436	—	2	1	no	—
26	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
27	#2211	—	2	8	no	—
28	#2185	—	2	4	no	—
29	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#358	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2015	—	2	2	no	—
37	#1969	C₂²	1	2	yes	—
38	#1969	C₂²	1	2	yes	—
39	#1878	—	2	2	no	—
40	#1808	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1787	—	2	1	no	—
42	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#1380	C₂²	1	2	yes	—
44	#1374	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
51	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
52	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
55	C₂²×Q₁₆	—	4	2	no	—
56	C₂²×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
57	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
61	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×#124	—	2	2	no	—
64	C₂×#121	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
66	C₂×Q₃₂	—	2	32	no	—
67	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
68	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
69	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
70	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
71	C₂×Q₃₂	—	2	4	no	—
72	C₂×Q₃₂	D₄	1	8	yes	complemented
73	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
74	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
75	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
76	C₂×SD₃₂	—	4	2	no	—
77	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₁₆	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
82	#495	—	2	4	no	—
83	#495	—	4	2	no	—
84	#466	—	2	2	no	—
85	#466	—	2	2	no	—
86	#448	—	4	4	no	—
87	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
88	C₄×Q₁₆	—	4	2	no	—
89	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#103	—	2	2	no	—
92	C₂×#103	—	2	2	no	—
93	C₂×#103	—	2	2	no	—
94	C₂×#102	—	2	1	no	—
95	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	#393	—	4	2	no	—
98	#391	—	2	2	no	—
99	#391	—	2	2	no	—
100	#391	—	4	2	no	—
101	#386	—	4	1	no	—
102	#386	—	4	1	no	—
103	#380	—	2	1	no	—
104	#380	—	4	1	no	—
105	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
106	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
108	#358	—	2	2	no	—
109	#358	—	2	2	no	—
110	#358	—	2	4	no	—
111	#358	—	4	2	no	—
112	#357	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
114	#340	—	2	1	no	—
115	#336	D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
122	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
123	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
124	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
125	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
126	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
127	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
128	C₂²×Q₈	—	8	2	no	—
129	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
131	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
132	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	2	1	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
153	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
154	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
160	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
161	C₂×D₈	—	2	2	no	—
162	C₂×D₈	—	2	1	no	—
163	C₂×D₈	—	2	1	no	—
164	C₂×D₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	#124	—	4	4	no	—
173	#124	—	8	2	no	—
174	#121	—	4	2	no	—
175	#121	—	4	2	no	—
176	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
177	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	Q₃₂	—	2	16	no	—
190	Q₃₂	—	2	16	no	—
191	SD₃₂	—	4	4	no	—
192	SD₃₂	—	4	4	no	—
193	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
194	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
195	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
196	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
197	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
198	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
199	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
200	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
201	#107	—	2	2	no	—
202	#107	—	2	1	no	—
203	#107	—	2	1	no	—
204	#107	—	2	2	no	—
205	#103	—	4	4	no	—
206	#103	—	4	4	no	—
207	#103	—	8	2	no	—
208	#102	—	4	2	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
210	C₄×C₈	—	2	2	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	#95	—	4	2	no	—
213	#95	—	4	1	no	—
214	#95	—	4	2	no	—
215	#95	—	4	2	no	—
216	#95	—	4	2	no	—
217	#95	D₈	1	2	yes	—
218	C₂⁴	—	4	1	no	—
219	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
225	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
228	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
238	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
242	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	1	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	1	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	8	2	no	—
249	C₂×D₄	—	8	2	no	—
250	C₂×D₄	—	8	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
262	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	Q₁₆	—	2	2	no	—
269	Q₁₆	—	2	4	no	—
270	Q₁₆	—	2	2	no	—
271	Q₁₆	—	2	2	no	—
272	Q₁₆	—	2	4	no	—
273	Q₁₆	—	2	4	no	—
274	Q₁₆	—	4	8	no	—
275	Q₁₆	—	4	8	no	—
276	Q₁₆	—	4	2	no	—
277	Q₁₆	—	4	2	no	—
278	Q₁₆	—	4	2	no	—
279	Q₁₆	#120	1	4	yes	—
280	SD₁₆	—	8	8	no	—
281	D₈	—	4	1	no	—
282	D₈	—	4	1	no	—
283	D₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
292	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	8	4	no	—
310	C₁₆	—	2	4	no	—
311	C₁₆	—	4	1	no	—
312	C₁₆	—	4	1	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	8	1	no	—
316	C₂³	—	8	1	no	—
317	C₂³	—	8	2	no	—
318	C₂³	—	8	2	no	—
319	C₂³	—	8	1	no	—
320	C₂³	#459	1	2	yes	—
321	C₂³	#508	1	2	yes	—
322	C₂³	#510	1	2	yes	—
323	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
324	Q₈	—	2	4	no	—
325	Q₈	—	4	4	no	—
326	Q₈	—	4	2	no	—
327	Q₈	—	4	2	no	—
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	Q₈	—	4	4	no	—
330	Q₈	—	4	2	no	—
331	Q₈	—	8	8	no	—
332	Q₈	—	8	8	no	—
333	Q₈	—	8	2	no	—
334	Q₈	—	8	2	no	—
335	Q₈	—	8	2	no	—
336	D₄	—	8	1	no	—
337	D₄	—	8	2	no	—
338	D₄	—	8	1	no	—
339	D₄	—	16	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	8	no	—
355	C₂×C₄	—	8	8	no	—
356	C₂×C₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	8	2	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	—	8	2	no	—
360	C₂×C₄	—	8	1	no	—
361	C₂×C₄	—	8	1	no	—
362	C₂×C₄	—	8	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	1	no	—
365	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
370	C₈	—	2	2	no	—
371	C₈	—	4	2	no	—
372	C₈	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
373	C₈	#534	1	1	yes	characteristic
374	C₈	#546	1	2	yes	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	2	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	16	1	no	—
380	C₂²	—	16	1	no	—
381	C₂²	—	16	2	no	—
382	C₂²	—	16	1	no	—
383	C₂²	—	16	2	no	—
384	C₂²	#2211	1	4	yes	complemented
385	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	D₄×D₈	1	2	yes	—
387	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#510	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#3417	1	2	yes	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	4	4	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	4	2	no	—
394	C₄	—	8	4	no	—
395	C₄	—	8	2	no	—
396	C₄	—	16	1	no	—
397	C₄	—	16	2	no	—
398	C₄	#2410	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#3041	1	1	yes	characteristic
400	C₄	#3264	1	2	yes	—
401	C₂	—	2	4	no	—
402	C₂	—	32	1	no	—
403	C₂	#24354	1	1	yes	characteristic
404	C₂	C₂×#2211	1	1	yes	characteristic
405	C₂	#33588	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#33836	1	2	yes	—
407	C₂	#33851	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#466	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×Q₃₂	C₂	semidirect
2. C₂×#2211	C₂	semidirect
5. C₂²⋊C₄×Q₁₆	C₂	semidirect
6. #13450	C₂	semidirect
7. #13329	C₂	semidirect
9. #13015	C₂	semidirect
10. #12912	C₂	semidirect
11. #12732	C₂	semidirect
72. C₂×Q₃₂	D₄	semidirect
384. C₂²	#2211	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×Q₃₂	2
C₂×#2211	2
C₂×#2185	2
#25782	2
C₂²⋊C₄×Q₁₆	2
#13450	2
#13329	2
#13059	2
#13015	2
#12912	2
#12732	2