Subgroups — #501614

Order 512.

721 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 375 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2210	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#2208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2177	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#28459	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#22682	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#13477	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13014	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#461	—	2	1	no	—
17	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#2547	—	2	1	no	—
21	#2349	—	2	1	no	—
22	#2210	—	2	8	no	—
23	#2208	—	2	4	no	—
24	#2177	—	2	4	no	—
25	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2015	—	2	2	no	—
36	#1969	C₂²	1	2	yes	—
37	#1942	C₂²	1	2	yes	—
38	#1864	—	2	2	no	—
39	#1846	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1804	—	2	1	no	—
41	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1380	C₂²	1	2	yes	—
43	#1374	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₁₆	—	2	1	no	—
45	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
50	C₂×#124	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
54	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
55	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
56	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
57	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×D₁₆	D₄	1	4	yes	—
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#495	—	2	4	no	—
64	#495	—	4	2	no	—
65	#494	—	2	2	no	—
66	#494	—	2	2	no	—
67	#461	—	4	4	no	—
68	C₄×D₈	—	2	4	no	—
69	C₄×D₈	—	2	2	no	—
70	C₄×D₈	—	2	2	no	—
71	C₄×D₈	—	2	2	no	—
72	C₄×D₈	—	4	2	no	—
73	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#106	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#103	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	2	1	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×#102	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#397	—	4	1	no	—
86	#397	—	4	1	no	—
87	#391	—	2	2	no	—
88	#389	—	2	2	no	—
89	#385	—	4	2	no	—
90	#382	—	2	1	no	—
91	#380	—	4	2	no	—
92	#380	—	4	1	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#95	—	4	1	no	—
95	#367	—	2	2	no	—
96	C₄⋊C₁₆	—	2	4	no	—
97	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
98	#358	—	2	4	no	—
99	#358	—	2	4	no	—
100	#358	—	4	2	no	—
101	#357	—	2	2	no	—
102	#357	—	2	4	no	—
103	#357	—	2	2	no	—
104	#346	—	2	2	no	—
105	#340	—	2	2	no	—
106	#336	D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
111	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
112	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
113	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	8	1	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
124	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
125	C₂×D₈	—	2	1	no	—
126	C₂×D₈	—	2	1	no	—
127	C₂×D₈	—	2	1	no	—
128	C₂×D₈	—	2	1	no	—
129	C₂×D₈	—	2	1	no	—
130	C₂×D₈	—	2	1	no	—
131	C₂×D₈	—	2	1	no	—
132	C₂×D₈	—	2	1	no	—
133	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×D₈	#41	1	2	yes	—
137	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
142	#124	—	4	4	no	—
143	#124	—	8	2	no	—
144	C₄×D₄	—	2	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	C₄×D₄	—	4	2	no	—
147	C₄×D₄	—	4	2	no	—
148	C₄×D₄	—	4	2	no	—
149	C₄×D₄	—	8	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	SD₃₂	—	4	8	no	—
165	D₁₆	—	2	8	no	—
166	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
167	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
168	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
169	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
170	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
172	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
173	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
174	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	#107	—	2	1	no	—
176	#107	—	2	2	no	—
177	#107	—	2	1	no	—
178	#107	—	2	1	no	—
179	#107	—	2	2	no	—
180	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	#106	—	8	1	no	—
182	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
183	#103	—	4	4	no	—
184	#102	—	2	4	no	—
185	#102	—	4	4	no	—
186	#102	—	4	2	no	—
187	C₄×C₈	—	2	2	no	—
188	C₄×C₈	—	2	2	no	—
189	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
191	#95	—	4	1	no	—
192	#95	—	4	2	no	—
193	#95	—	4	2	no	—
194	#95	—	4	2	no	—
195	#95	—	4	1	no	—
196	#95	D₈	1	1	yes	characteristic
197	#95	D₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂⁴	—	4	1	no	—
199	C₂⁴	—	4	1	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	1	no	—
211	C₂×D₄	—	4	1	no	—
212	C₂×D₄	—	4	1	no	—
213	C₂×D₄	—	4	1	no	—
214	C₂×D₄	—	4	1	no	—
215	C₂×D₄	—	4	1	no	—
216	C₂×D₄	—	4	1	no	—
217	C₂×D₄	—	4	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
229	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
234	Q₁₆	—	4	2	no	—
235	Q₁₆	—	4	2	no	—
236	Q₁₆	—	4	2	no	—
237	Q₁₆	—	4	2	no	—
238	Q₁₆	—	8	4	no	—
239	SD₁₆	—	8	8	no	—
240	D₈	—	2	2	no	—
241	D₈	—	2	2	no	—
242	D₈	—	2	2	no	—
243	D₈	—	2	2	no	—
244	D₈	—	2	2	no	—
245	D₈	—	4	1	no	—
246	D₈	—	4	1	no	—
247	D₈	#121	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	—	2	1	no	—
249	C₂×C₈	—	2	1	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
254	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	#121	1	2	yes	—
278	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
279	C₁₆	—	2	2	no	—
280	C₁₆	—	4	2	no	—
281	C₁₆	—	4	1	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	1	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	1	no	—
292	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
293	Q₈	—	8	2	no	—
294	Q₈	—	8	2	no	—
295	Q₈	—	8	2	no	—
296	Q₈	—	8	2	no	—
297	D₄	—	2	4	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	4	2	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	D₄	—	4	2	no	—
302	D₄	—	4	2	no	—
303	D₄	—	8	1	no	—
304	D₄	—	8	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	2	no	—
319	C₂×C₄	—	8	2	no	—
320	C₂×C₄	—	8	2	no	—
321	C₂×C₄	—	8	1	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	16	4	no	—
324	C₂×C₄	—	16	4	no	—
325	C₂×C₄	—	16	8	no	—
326	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#548	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	4	2	no	—
336	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
337	C₈	#537	1	1	yes	characteristic
338	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
339	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	8	4	no	—
342	C₂²	—	8	2	no	—
343	C₂²	—	8	2	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	8	2	no	—
347	C₂²	—	16	1	no	—
348	C₂²	—	16	1	no	—
349	C₂²	—	16	2	no	—
350	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#3358	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#3414	1	2	yes	—
354	C₂²	#3416	1	2	yes	—
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	4	2	no	—
359	C₄	—	8	2	no	—
360	C₄	—	16	2	no	—
361	C₄	—	16	1	no	—
362	C₄	—	16	2	no	—
363	C₄	#2416	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#3045	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#3272	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#3366	1	1	yes	characteristic
367	C₂	—	8	4	no	—
368	C₂	—	16	2	no	—
369	C₂	#24726	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#33584	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#33586	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#33833	1	2	yes	—
373	C₂	#33943	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₁₆	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ C₈×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2208	C₂	semidirect
4. #28459	C₂	semidirect
5. #22682	C₂	semidirect
6. #13477	C₂	semidirect
7. #13408	C₂	semidirect
8. #13207	C₂	semidirect
9. #13160	C₂	semidirect
10. #13014	C₂	semidirect
11. #12813	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2210	2
C₂×#2208	2
C₂×#2177	2
#28459	2
#22682	2
#13477	2
#13408	2
#13207	2
#13160	2
#13014	2
#12813	2