Subgroups — #501671

Order 512.

714 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2215	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2215	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×D₄×C₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2158	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#24778	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13476	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13381	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12992	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
19	#2414	—	2	2	no	—
20	#2215	—	2	4	no	—
21	#2215	—	2	4	no	—
22	D₄×C₁₆	—	2	4	no	—
23	#2158	—	2	4	no	—
24	C₂×#367	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2065	—	2	2	no	—
36	#2034	—	2	2	no	—
37	#1970	C₂²	1	2	yes	—
38	#1942	C₂²	1	2	yes	—
39	#1875	—	2	2	no	—
40	#1808	C₂²	1	2	yes	—
41	#1380	C₂²	1	2	yes	—
42	#1380	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#121	—	2	2	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	—	2	2	no	—
50	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#466	—	2	4	no	—
64	#466	—	2	4	no	—
65	#466	—	2	4	no	—
66	#466	—	4	2	no	—
67	C₈×D₄	—	2	2	no	—
68	C₈×D₄	—	2	2	no	—
69	#427	—	2	4	no	—
70	#427	—	4	2	no	—
71	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#106	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×#102	—	2	2	no	—
78	C₂×#102	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#394	—	4	2	no	—
83	#392	—	4	2	no	—
84	#390	—	2	2	no	—
85	#390	—	4	2	no	—
86	#389	—	2	2	no	—
87	#388	—	4	2	no	—
88	#380	—	2	2	no	—
89	#367	—	2	4	no	—
90	#366	—	2	2	no	—
91	#366	—	2	2	no	—
92	#366	D₄	1	4	yes	complemented
93	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
94	#357	—	2	4	no	—
95	#357	—	2	4	no	—
96	#357	—	4	2	no	—
97	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
99	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	2	no	—
101	#340	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
105	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×D₈	—	2	2	no	—
109	C₂×D₈	—	2	2	no	—
110	C₂×D₈	—	2	2	no	—
111	C₂×D₈	—	2	2	no	—
112	C₂×D₈	—	2	2	no	—
113	C₂×D₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	#121	—	4	4	no	—
131	#121	—	4	4	no	—
132	#121	—	4	4	no	—
133	#121	—	8	2	no	—
134	C₄×D₄	—	2	2	no	—
135	C₄×D₄	—	2	2	no	—
136	#117	—	4	4	no	—
137	#117	—	8	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	D₁₆	—	4	4	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
163	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
164	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
168	#107	—	2	2	no	—
169	#107	—	2	2	no	—
170	#107	—	2	2	no	—
171	#107	—	2	2	no	—
172	#107	—	2	2	no	—
173	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	#106	—	4	4	no	—
175	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
176	#102	—	4	4	no	—
177	#102	—	4	4	no	—
178	#102	—	8	2	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	#95	—	4	2	no	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	—	4	2	no	—
186	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	8	4	no	—
198	C₂×D₄	—	8	4	no	—
199	C₂×D₄	—	8	4	no	—
200	C₂×D₄	—	16	2	no	—
201	C₂×D₄	—	16	2	no	—
202	C₂×D₄	—	16	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
216	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	D₈	—	4	2	no	—
224	D₈	—	4	2	no	—
225	D₈	—	4	2	no	—
226	D₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	1	no	—
234	C₂×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂×C₈	—	2	1	no	—
236	C₂×C₈	—	2	1	no	—
237	C₂×C₈	—	2	1	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	4	1	no	—
240	C₂×C₈	—	4	1	no	—
241	C₂×C₈	—	4	1	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
244	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
266	C₄²	—	2	1	no	—
267	C₄²	—	2	1	no	—
268	C₄²	—	8	4	no	—
269	C₁₆	—	2	2	no	—
270	C₁₆	—	4	1	no	—
271	C₁₆	—	4	1	no	—
272	C₁₆	#121	1	4	yes	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	—	8	2	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	2	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	#466	1	2	yes	—
293	C₂³	#508	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
295	D₄	—	2	8	no	—
296	D₄	—	8	2	no	—
297	D₄	—	8	2	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	D₄	—	8	2	no	—
300	D₄	—	16	8	no	—
301	D₄	—	16	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	4	1	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	8	2	no	—
327	C₂×C₄	—	8	2	no	—
328	C₂×C₄	—	8	2	no	—
329	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
337	C₈	—	2	2	no	—
338	C₈	—	4	1	no	—
339	C₈	—	4	1	no	—
340	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
341	C₈	#537	1	1	yes	characteristic
342	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
343	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	4	1	no	—
351	C₂²	—	4	1	no	—
352	C₂²	—	4	1	no	—
353	C₂²	—	4	1	no	—
354	C₂²	—	4	1	no	—
355	C₂²	—	4	1	no	—
356	C₂²	—	4	1	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	—	16	2	no	—
361	C₂²	—	16	2	no	—
362	C₂²	—	16	2	no	—
363	C₂²	—	16	2	no	—
364	C₂²	—	16	2	no	—
365	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#3334	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
372	C₄	—	2	2	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	4	1	no	—
375	C₄	—	4	1	no	—
376	C₄	—	8	4	no	—
377	C₄	—	16	2	no	—
378	C₄	—	16	2	no	—
379	C₄	#2416	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#3061	1	1	yes	characteristic
381	C₄	#3285	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#3339	1	1	yes	characteristic
383	C₂	—	4	2	no	—
384	C₂	—	4	2	no	—
385	C₂	—	32	2	no	—
386	C₂	#24780	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#33600	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#33607	1	1	yes	characteristic
389	C₂	#33846	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#33853	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#33906	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#33908	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2215	C₂	semidirect
2. C₂×#2215	C₂	semidirect
3. C₂×D₄×C₁₆	C₂	semidirect
4. C₂×#2158	C₂	semidirect
5. #24778	C₂	semidirect
6. #13476	C₂	semidirect
7. #13381	C₂	semidirect
8. #13235	C₂	semidirect
9. #13165	C₂	semidirect
10. #12992	C₂	semidirect
11. #12834	C₂	semidirect
58. C₂²×C₁₆	D₄	semidirect
92. #366	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2215	2
C₂×D₄×C₁₆	2
C₂×#2158	2
#24778	2
#13476	2
#13381	2
#13235	2
#13165	2
#12992	2
#12834	2