Subgroups — #501678

Order 512.

651 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2219	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2216	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#2158	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#24779	C₂	1	2	yes	maximal
6	#13475	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13383	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13240	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13167	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12994	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12836	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
19	#2415	—	2	2	no	—
20	#2219	—	2	4	no	—
21	#2216	—	2	4	no	—
22	#2168	—	2	4	no	—
23	#2158	—	2	4	no	—
24	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2066	—	2	2	no	—
36	#2035	—	2	2	no	—
37	#1969	C₂²	1	2	yes	—
38	#1942	C₂²	1	2	yes	—
39	#1873	—	2	2	no	—
40	#1808	C₂²	1	2	yes	—
41	#1380	C₂²	1	2	yes	—
42	#1380	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	—	2	2	no	—
50	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
51	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
52	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
53	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
54	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
55	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₁₆	D₄	1	4	yes	—
59	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#467	—	2	4	no	—
64	#467	—	2	4	no	—
65	#467	—	2	4	no	—
66	#467	—	4	2	no	—
67	C₈×D₄	—	2	2	no	—
68	C₈×D₄	—	2	2	no	—
69	#427	—	2	4	no	—
70	#427	—	4	2	no	—
71	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×#106	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂×#103	—	2	2	no	—
77	C₂×#103	—	2	2	no	—
78	C₂×#103	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	#397	—	4	2	no	—
83	#394	—	4	2	no	—
84	#391	—	2	2	no	—
85	#389	—	2	2	no	—
86	#389	—	4	2	no	—
87	#388	—	4	2	no	—
88	#380	—	2	2	no	—
89	#367	—	2	2	no	—
90	#367	D₄	1	4	yes	complemented
91	#366	—	2	2	no	—
92	#366	—	2	4	no	—
93	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
94	#358	—	2	4	no	—
95	#358	—	2	4	no	—
96	#358	—	4	2	no	—
97	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
99	#346	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	2	no	—
101	#340	—	2	2	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	D₈	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
114	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
115	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	8	2	no	—
132	C₄×D₄	—	2	2	no	—
133	C₄×D₄	—	2	2	no	—
134	#117	—	4	4	no	—
135	#117	—	8	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	Q₃₂	—	4	4	no	—
152	M₃₂	—	4	4	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	8	no	—
156	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
157	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
158	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
162	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
166	#107	—	2	2	no	—
167	#107	—	2	2	no	—
168	#107	—	2	2	no	—
169	#107	—	2	2	no	—
170	#107	—	2	2	no	—
171	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	#106	—	4	4	no	—
173	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
174	#103	—	4	4	no	—
175	#103	—	4	4	no	—
176	#103	—	8	2	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
179	C₄×C₈	—	2	1	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	#95	—	4	2	no	—
182	#95	—	4	2	no	—
183	#95	—	4	2	no	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
187	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
209	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	#135	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	Q₁₆	—	4	2	no	—
217	Q₁₆	—	4	2	no	—
218	Q₁₆	—	4	2	no	—
219	Q₁₆	—	4	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	1	no	—
221	C₂×C₈	—	2	1	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	4	1	no	—
233	C₂×C₈	—	4	1	no	—
234	C₂×C₈	—	4	1	no	—
235	C₂×C₈	—	4	1	no	—
236	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
237	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
243	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	1	no	—
261	C₄²	—	8	4	no	—
262	C₁₆	—	2	2	no	—
263	C₁₆	—	4	1	no	—
264	C₁₆	—	4	1	no	—
265	C₁₆	#121	1	4	yes	—
266	C₂³	—	2	1	no	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	1	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	2	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	#466	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	8	2	no	—
278	Q₈	—	8	2	no	—
279	Q₈	—	8	2	no	—
280	Q₈	—	8	2	no	—
281	D₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
318	C₈	—	2	2	no	—
319	C₈	—	4	1	no	—
320	C₈	—	4	1	no	—
321	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	C₈	#537	1	1	yes	characteristic
323	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
324	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	4	2	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	1	no	—
332	C₂²	—	4	1	no	—
333	C₂²	—	4	2	no	—
334	C₂²	—	4	1	no	—
335	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#3334	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#3414	1	2	yes	—
339	C₂²	#3417	1	2	yes	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	4	1	no	—
342	C₄	—	4	1	no	—
343	C₄	—	4	1	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	—	16	2	no	—
346	C₄	—	16	2	no	—
347	C₄	—	16	2	no	—
348	C₄	#2416	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#3061	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#3285	1	1	yes	characteristic
351	C₄	#3339	1	1	yes	characteristic
352	C₂	—	4	2	no	—
353	C₂	—	8	1	no	—
354	C₂	#24780	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#33604	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#33608	1	1	yes	characteristic
357	C₂	#33835	1	2	yes	—
358	C₂	#33916	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₄	D₈
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ C₂×C₈×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2219	C₂	semidirect
2. C₂×#2216	C₂	semidirect
4. C₂×#2158	C₂	semidirect
6. #13475	C₂	semidirect
7. #13383	C₂	semidirect
8. #13240	C₂	semidirect
9. #13167	C₂	semidirect
10. #12994	C₂	semidirect
11. #12836	C₂	semidirect
90. #367	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2219	2
C₂×#2216	2
C₂×#2168	2
C₂×#2158	2
#24779	2
#13475	2
#13383	2
#13240	2
#13167	2
#12994	2
#12836	2