Subgroups — #501698

Order 512.

629 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 365 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2221	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33433	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#24803	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13470	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13245	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13004	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12843	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#472	C₂²	1	2	yes	—
16	#3055	—	2	2	no	—
17	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
18	#2929	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
20	#2221	—	2	4	no	—
21	#2218	—	2	2	no	—
22	#2218	—	2	2	no	—
23	#2169	—	2	2	no	—
24	#2168	—	2	2	no	—
25	#2161	—	2	4	no	—
26	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#368	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#2151	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
34	#2113	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#2112	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#2063	—	2	2	no	—
38	#2051	—	2	2	no	—
39	#1978	C₂²	1	2	yes	—
40	#1952	C₂²	1	2	yes	—
41	#1900	—	2	2	no	—
42	#1816	C₂²	1	2	yes	—
43	#1387	C₂²	1	2	yes	—
44	#1387	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#525	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#121	—	2	2	no	—
52	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
53	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
54	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
56	#504	—	2	2	no	—
57	#504	—	2	2	no	—
58	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
59	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
60	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
61	C₂×M₃₂	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×M₃₂	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
66	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#472	—	2	4	no	—
69	#472	—	4	2	no	—
70	#469	—	4	2	no	—
71	#468	—	4	2	no	—
72	#466	—	2	2	no	—
73	#466	—	2	2	no	—
74	#466	—	2	2	no	—
75	#466	—	2	2	no	—
76	#466	—	4	2	no	—
77	#465	—	4	2	no	—
78	#435	—	2	2	no	—
79	C₈×D₄	—	2	2	no	—
80	C₂×#108	—	2	4	no	—
81	C₂×#108	—	2	2	no	—
82	C₂×#108	—	4	2	no	—
83	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
85	#428	—	2	2	no	—
86	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
87	#424	D₄	1	1	yes	characteristic
88	#418	—	2	2	no	—
89	#417	—	2	2	no	—
90	C₂×#102	—	2	2	no	—
91	C₂×#100	—	2	2	no	—
92	C₂×#100	—	2	2	no	—
93	#408	D₄	1	1	yes	characteristic
94	#407	D₄	1	1	yes	characteristic
95	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#368	—	2	2	no	—
97	#368	—	2	4	no	—
98	#368	D₄	1	4	yes	complemented
99	#367	—	2	1	no	—
100	#367	—	2	1	no	—
101	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
102	#361	—	2	4	no	—
103	#361	—	4	2	no	—
104	#357	—	2	4	no	—
105	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
107	#346	—	2	1	no	—
108	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
109	#343	—	2	2	no	—
110	#343	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
116	AGL(1,ℤ/8)	—	8	2	no	—
117	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	2	2	no	—
124	C₂×D₈	—	4	2	no	—
125	#131	—	2	1	no	—
126	#131	—	2	1	no	—
127	#131	—	2	1	no	—
128	#131	—	2	1	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	8	2	no	—
135	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	#123	—	2	1	no	—
148	C₂²⋊Q₈	D₈	1	2	yes	—
149	#121	—	4	2	no	—
150	#121	—	4	2	no	—
151	#121	—	4	2	no	—
152	#121	—	4	2	no	—
153	#121	D₈	1	2	yes	—
154	#120	—	2	1	no	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
159	D₁₆	—	4	2	no	—
160	D₁₆	—	4	2	no	—
161	M₃₂	—	2	4	no	—
162	M₃₂	—	2	4	no	—
163	M₃₂	—	2	1	no	—
164	M₃₂	—	2	1	no	—
165	M₃₂	—	2	1	no	—
166	M₃₂	—	2	1	no	—
167	M₃₂	—	4	2	no	—
168	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
169	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
170	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
171	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
172	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
173	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
178	#108	—	2	2	no	—
179	#108	—	2	2	no	—
180	#108	—	2	2	no	—
181	#108	—	4	4	no	—
182	#108	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	#107	—	2	2	no	—
184	#107	—	2	2	no	—
185	#107	—	4	2	no	—
186	#106	—	4	2	no	—
187	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
188	#103	—	4	2	no	—
189	#102	—	4	2	no	—
190	#102	—	4	2	no	—
191	#102	—	4	2	no	—
192	#102	—	4	2	no	—
193	#102	—	4	2	no	—
194	#100	—	4	4	no	—
195	#100	—	8	2	no	—
196	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
198	#97	—	2	1	no	—
199	C₄×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂⁴	—	4	2	no	—
201	C₂⁴	#135	1	1	yes	characteristic
202	#41	—	2	1	no	—
203	#41	—	2	1	no	—
204	#41	—	2	1	no	—
205	#41	—	2	1	no	—
206	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
207	C₂×D₄	—	2	1	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	2	no	—
214	C₂×D₄	—	4	2	no	—
215	C₂×D₄	—	8	2	no	—
216	C₂×D₄	—	8	2	no	—
217	C₂×D₄	—	16	4	no	—
218	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	#135	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	SD₁₆	—	8	4	no	—
230	D₈	—	4	2	no	—
231	D₈	—	4	2	no	—
232	D₈	—	4	2	no	—
233	D₈	—	4	2	no	—
234	D₈	—	8	4	no	—
235	M₁₆	—	2	1	no	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	M₁₆	—	2	1	no	—
238	M₁₆	—	2	1	no	—
239	M₁₆	—	2	1	no	—
240	M₁₆	—	4	2	no	—
241	M₁₆	—	4	1	no	—
242	M₁₆	—	4	1	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	4	2	no	—
245	M₁₆	—	8	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	1	no	—
247	C₂×C₈	—	2	1	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	1	no	—
253	C₂×C₈	—	2	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	8	4	no	—
259	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
269	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
275	C₄²	—	2	1	no	—
276	C₁₆	—	2	2	no	—
277	C₁₆	—	4	1	no	—
278	C₁₆	—	4	1	no	—
279	C₁₆	#121	1	2	yes	—
280	C₁₆	#121	1	2	yes	—
281	C₂³	—	2	1	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	8	2	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	16	2	no	—
289	C₂³	—	16	2	no	—
290	C₂³	#466	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	2	1	no	—
293	Q₈	—	2	1	no	—
294	D₄	—	2	1	no	—
295	D₄	—	2	1	no	—
296	D₄	—	4	1	no	—
297	D₄	—	4	1	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	D₄	—	8	2	no	—
300	D₄	—	8	2	no	—
301	D₄	—	8	2	no	—
302	D₄	—	8	2	no	—
303	D₄	—	16	4	no	—
304	D₄	—	16	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	16	2	no	—
317	C₂×C₄	#466	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
324	C₈	—	2	2	no	—
325	C₈	—	4	1	no	—
326	C₈	—	4	4	no	—
327	C₈	—	4	1	no	—
328	C₈	—	8	2	no	—
329	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
330	C₈	#537	1	1	yes	characteristic
331	C₈	#548	1	1	yes	characteristic
332	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	2	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	1	no	—
339	C₂²	—	8	1	no	—
340	C₂²	—	8	1	no	—
341	C₂²	—	16	2	no	—
342	C₂²	—	16	2	no	—
343	C₂²	—	16	2	no	—
344	C₂²	—	32	2	no	—
345	C₂²	—	32	2	no	—
346	C₂²	C₂×#466	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3285	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#3339	1	1	yes	characteristic
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	4	2	no	—
351	C₄	—	4	1	no	—
352	C₄	—	16	2	no	—
353	C₄	#2416	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#3061	1	1	yes	characteristic
355	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#3334	1	1	yes	characteristic
357	C₂	—	2	1	no	—
358	C₂	—	2	1	no	—
359	C₂	—	4	2	no	—
360	C₂	—	8	1	no	—
361	C₂	—	32	2	no	—
362	C₂	#24780	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#33618	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂×#466
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ #2929 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2221	C₂	semidirect
2. C₂×#2218	C₂	semidirect
3. #33433	C₂	semidirect
4. C₂×#2161	C₂	semidirect
5. #24803	C₂	semidirect
6. #13470	C₂	semidirect
7. #13393	C₂	semidirect
8. #13245	C₂	semidirect
9. #13172	C₂	semidirect
10. #13004	C₂	semidirect
11. #12843	C₂	semidirect
98. #368	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2221	2
C₂×#2218	2
#33433	2
C₂×#2161	2
#24803	2
#13470	2
#13393	2
#13245	2
#13172	2
#13004	2
#12843	2