Subgroups — #501705

Order 512.

646 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2226	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₄×D₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#28528	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄⋊C₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#13507	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13476	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13159	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13012	C₂	1	2	yes	maximal
10	#12813	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#476	—	2	1	no	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2563	—	2	1	no	—
19	D₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
20	#2226	—	2	4	no	—
21	C₄×D₁₆	—	2	4	no	—
22	C₂×#367	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#357	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#2092	—	2	2	no	—
32	#1970	C₂²	1	2	yes	—
33	#1942	C₂²	1	2	yes	—
34	#1862	—	2	2	no	—
35	#1846	C₂²	1	2	yes	—
36	#1845	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1802	—	2	1	no	—
38	C₈×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1380	C₂²	1	2	yes	—
40	#1380	C₂²	1	2	yes	—
41	#1380	C₂²	1	2	yes	—
42	#1374	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
50	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂×D₁₆	Q₈	1	4	yes	complemented
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#500	—	2	2	no	—
57	#500	—	2	2	no	—
58	#476	—	4	4	no	—
59	C₄×D₈	—	2	4	no	—
60	C₄×D₈	—	2	2	no	—
61	C₄×D₈	—	2	2	no	—
62	C₄×D₈	—	2	2	no	—
63	C₄×D₈	—	4	2	no	—
64	C₄×D₈	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×#107	—	2	1	no	—
66	C₂×#107	—	2	1	no	—
67	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#106	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×#102	—	2	1	no	—
74	C₂×#102	—	2	2	no	—
75	C₂×#102	—	2	1	no	—
76	C₂×#102	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	#393	—	4	2	no	—
80	#390	—	2	2	no	—
81	#389	—	2	2	no	—
82	#385	—	4	2	no	—
83	#384	—	2	1	no	—
84	#382	—	2	2	no	—
85	#380	—	4	1	no	—
86	#380	—	4	1	no	—
87	#380	—	4	1	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
89	#367	—	2	4	no	—
90	#366	—	2	2	no	—
91	C₄⋊C₁₆	—	2	2	no	—
92	C₄⋊C₁₆	—	4	2	no	—
93	#357	—	2	2	no	—
94	#357	—	2	4	no	—
95	#357	—	2	2	no	—
96	#357	—	4	2	no	—
97	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
98	#340	—	2	2	no	—
99	#336	D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
105	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
106	C₂×D₈	—	2	1	no	—
107	C₂×D₈	—	2	1	no	—
108	C₂×D₈	—	2	1	no	—
109	C₂×D₈	—	2	1	no	—
110	C₂×D₈	—	2	1	no	—
111	C₂×D₈	—	2	1	no	—
112	C₂×D₈	—	2	1	no	—
113	C₂×D₈	—	2	1	no	—
114	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×D₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂×D₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
117	C₂×D₈	#41	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
121	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
123	C₄×D₄	—	2	4	no	—
124	C₄×D₄	—	4	4	no	—
125	C₄×D₄	—	4	2	no	—
126	C₄×D₄	—	4	2	no	—
127	C₄×D₄	—	4	2	no	—
128	C₄×D₄	—	8	2	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	D₁₆	—	2	8	no	—
148	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
149	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
150	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
151	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
154	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
155	C₂×C₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×C₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
157	#107	—	2	1	no	—
158	#107	—	2	1	no	—
159	#107	—	2	2	no	—
160	#107	—	2	1	no	—
161	#107	—	2	2	no	—
162	#107	—	2	2	no	—
163	#107	—	2	2	no	—
164	#107	—	4	2	no	—
165	#107	—	8	1	no	—
166	#107	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	#106	—	4	4	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	#102	—	2	4	no	—
170	#102	—	4	4	no	—
171	#102	—	4	4	no	—
172	#102	—	4	2	no	—
173	C₄×C₈	—	2	2	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×C₈	#41	1	2	yes	—
177	#95	—	4	2	no	—
178	#95	—	4	2	no	—
179	#95	—	4	2	no	—
180	#95	D₈	1	2	yes	—
181	C₂⁴	—	4	1	no	—
182	C₂⁴	—	4	1	no	—
183	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	16	1	no	—
185	C₂×Q₈	—	16	1	no	—
186	C₂×D₄	—	2	2	no	—
187	C₂×D₄	—	2	2	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	2	no	—
190	C₂×D₄	—	4	1	no	—
191	C₂×D₄	—	4	1	no	—
192	C₂×D₄	—	4	1	no	—
193	C₂×D₄	—	4	1	no	—
194	C₂×D₄	—	4	1	no	—
195	C₂×D₄	—	4	1	no	—
196	C₂×D₄	—	4	1	no	—
197	C₂×D₄	—	4	1	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	D₈	—	2	2	no	—
217	D₈	—	2	2	no	—
218	D₈	—	2	2	no	—
219	D₈	—	2	2	no	—
220	D₈	—	2	2	no	—
221	D₈	—	4	1	no	—
222	D₈	—	4	1	no	—
223	D₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
224	C₂×C₈	—	2	1	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
230	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
249	C₄⋊C₄	—	16	1	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	2	no	—
257	C₄²	#121	1	2	yes	—
258	C₄²	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
259	C₁₆	—	2	2	no	—
260	C₁₆	—	4	1	no	—
261	C₁₆	—	4	2	no	—
262	C₂³	—	4	2	no	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	4	2	no	—
265	C₂³	—	4	2	no	—
266	C₂³	—	8	1	no	—
267	C₂³	—	8	1	no	—
268	C₂³	—	8	1	no	—
269	C₂³	—	8	1	no	—
270	C₂³	—	8	1	no	—
271	C₂³	—	8	1	no	—
272	C₂³	—	8	1	no	—
273	C₂³	—	8	1	no	—
274	C₂³	—	8	1	no	—
275	C₂³	—	8	1	no	—
276	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	16	4	no	—
278	D₄	—	2	4	no	—
279	D₄	—	4	2	no	—
280	D₄	—	4	2	no	—
281	D₄	—	4	2	no	—
282	D₄	—	4	2	no	—
283	D₄	—	4	2	no	—
284	D₄	—	8	1	no	—
285	D₄	—	8	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	1	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	8	1	no	—
296	C₂×C₄	—	8	1	no	—
297	C₂×C₄	—	8	8	no	—
298	C₂×C₄	—	8	1	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	1	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	—	8	2	no	—
303	C₂×C₄	—	8	2	no	—
304	C₂×C₄	—	8	1	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	16	8	no	—
308	C₂×C₄	—	16	4	no	—
309	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#459	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#509	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	#546	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	#577	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
319	C₈	—	2	2	no	—
320	C₈	—	4	2	no	—
321	C₈	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
322	C₈	#537	1	1	yes	characteristic
323	C₈	#552	1	1	yes	characteristic
324	C₈	#554	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	—	8	2	no	—
328	C₂²	—	8	2	no	—
329	C₂²	—	8	2	no	—
330	C₂²	—	8	2	no	—
331	C₂²	—	8	2	no	—
332	C₂²	—	8	2	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	8	2	no	—
335	C₂²	—	16	1	no	—
336	C₂²	—	16	1	no	—
337	C₂²	—	16	1	no	—
338	C₂²	—	16	1	no	—
339	C₂²	C₂×#459	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#3294	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	Q₈×D₈	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×#509	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#3416	1	1	yes	characteristic
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	4	2	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	8	2	no	—
350	C₄	—	16	1	no	—
351	C₄	—	16	2	no	—
352	C₄	—	16	2	no	—
353	C₄	#2210	1	4	yes	—
354	C₄	#2417	1	1	yes	characteristic
355	C₄	#3046	1	1	yes	characteristic
356	C₄	#3330	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#3384	1	1	yes	characteristic
358	C₂	—	8	4	no	—
359	C₂	—	16	2	no	—
360	C₂	#24811	1	1	yes	characteristic
361	C₂	C₂×#2210	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#33589	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#33870	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#33892	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#33947	1	1	yes	characteristic
366	C₂	#33951	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂²×D₁₆	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₄⋊C₄ ◁ C₈×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2226	C₂	semidirect
3. #28528	C₂	semidirect
4. C₄⋊C₄×D₈	C₂	semidirect
5. #13507	C₂	semidirect
6. #13476	C₂	semidirect
7. #13282	C₂	semidirect
8. #13159	C₂	semidirect
10. #12813	C₂	semidirect
11. #12811	C₂	semidirect
52. C₂×D₁₆	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2226	2
C₂×C₄×D₁₆	2
#28528	2
C₄⋊C₄×D₈	2
#13507	2
#13476	2
#13282	2
#13159	2
#13012	2
#12813	2
#12811	2