Subgroups — #501999

Order 512.

636 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 346 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2215	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×D₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#25034	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#13480	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#13380	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#13165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#12935	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#12905	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#12834	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
16	#2422	—	2	2	no	—
17	#2215	—	2	4	no	—
18	C₄×D₁₆	—	2	4	no	—
19	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#366	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2071	—	2	2	no	—
30	#2033	—	2	2	no	—
31	#1970	C₂²	1	2	yes	—
32	#1942	C₂²	1	2	yes	—
33	#1862	—	2	2	no	—
34	#1845	C₂²	1	2	yes	—
35	#1808	C₂²	1	2	yes	—
36	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#1380	C₂²	1	2	yes	—
38	#1380	C₂²	1	2	yes	—
39	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#123	—	4	2	no	—
44	C₂×#121	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
46	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
47	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂×D₁₆	D₄	1	4	yes	—
49	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#466	—	2	4	no	—
57	#466	—	4	2	no	—
58	C₄×D₈	—	2	4	no	—
59	C₄×D₈	—	4	2	no	—
60	C₂×#107	—	2	2	no	—
61	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#102	—	2	2	no	—
65	C₂×#102	—	2	2	no	—
66	C₂×#102	—	2	2	no	—
67	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#397	—	4	2	no	—
71	#394	—	4	2	no	—
72	#390	—	2	2	no	—
73	#389	—	2	2	no	—
74	#385	—	4	2	no	—
75	#384	—	2	2	no	—
76	#380	—	2	2	no	—
77	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
78	#366	—	2	2	no	—
79	#366	—	2	2	no	—
80	#366	—	2	2	no	—
81	#366	—	4	2	no	—
82	#357	—	2	4	no	—
83	#357	—	2	4	no	—
84	#357	—	2	4	no	—
85	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
86	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
87	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
88	#340	—	2	2	no	—
89	#340	—	2	2	no	—
90	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
91	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
94	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×D₈	—	2	2	no	—
97	C₂×D₈	—	2	2	no	—
98	C₂×D₈	—	2	2	no	—
99	C₂×D₈	—	2	2	no	—
100	C₂×D₈	—	2	2	no	—
101	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
112	#123	—	8	8	no	—
113	#121	—	4	4	no	—
114	#121	—	8	2	no	—
115	C₄×D₄	—	4	4	no	—
116	C₄×D₄	—	8	2	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	D₁₆	—	2	8	no	—
133	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
134	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
140	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
141	C₂×C₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
144	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
145	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
146	#107	—	2	2	no	—
147	#107	—	2	2	no	—
148	#107	—	2	2	no	—
149	#107	—	2	2	no	—
150	#107	—	2	2	no	—
151	#107	—	2	2	no	—
152	#107	—	8	2	no	—
153	#102	—	4	4	no	—
154	#102	—	4	4	no	—
155	#102	—	4	4	no	—
156	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
157	C₄×C₈	—	2	1	no	—
158	C₄×C₈	—	2	1	no	—
159	C₄×C₈	—	2	1	no	—
160	C₄×C₈	—	2	1	no	—
161	#95	—	4	2	no	—
162	#95	—	4	2	no	—
163	#95	D₈	1	1	yes	characteristic
164	#95	D₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂⁴	—	4	2	no	—
166	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	2	no	—
169	C₂×D₄	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	4	2	no	—
171	C₂×D₄	—	4	2	no	—
172	C₂×D₄	—	4	2	no	—
173	C₂×D₄	—	8	4	no	—
174	C₂×D₄	—	8	4	no	—
175	C₂×D₄	—	16	2	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
188	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
194	D₈	—	2	4	no	—
195	D₈	—	2	4	no	—
196	D₈	—	4	2	no	—
197	D₈	—	4	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₈	—	2	1	no	—
200	C₂×C₈	—	2	1	no	—
201	C₂×C₈	—	2	1	no	—
202	C₂×C₈	—	2	1	no	—
203	C₂×C₈	—	2	1	no	—
204	C₂×C₈	—	2	1	no	—
205	C₂×C₈	—	2	1	no	—
206	C₂×C₈	—	4	1	no	—
207	C₂×C₈	—	4	1	no	—
208	C₂×C₈	—	4	1	no	—
209	C₂×C₈	—	4	1	no	—
210	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₈	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
220	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
232	C₂²⋊C₄	D₁₆	1	4	yes	complemented
233	C₄²	—	2	1	no	—
234	C₄²	—	2	1	no	—
235	C₄²	—	2	1	no	—
236	C₄²	—	2	1	no	—
237	C₁₆	—	2	2	no	—
238	C₁₆	—	4	1	no	—
239	C₁₆	—	4	1	no	—
240	C₁₆	#123	1	4	yes	complemented
241	C₂³	—	2	1	no	—
242	C₂³	—	2	1	no	—
243	C₂³	—	2	1	no	—
244	C₂³	—	2	1	no	—
245	C₂³	—	2	1	no	—
246	C₂³	—	2	1	no	—
247	C₂³	—	4	4	no	—
248	C₂³	—	8	2	no	—
249	C₂³	—	8	2	no	—
250	C₂³	—	8	2	no	—
251	C₂³	—	8	2	no	—
252	C₂³	—	8	2	no	—
253	C₂³	—	8	2	no	—
254	C₂³	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
255	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
256	D₄	—	4	4	no	—
257	D₄	—	4	4	no	—
258	D₄	—	8	2	no	—
259	D₄	—	8	2	no	—
260	D₄	—	16	8	no	—
261	C₂×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂×C₄	—	2	1	no	—
263	C₂×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂×C₄	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂×C₄	—	2	1	no	—
272	C₂×C₄	—	2	1	no	—
273	C₂×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂×C₄	—	4	1	no	—
275	C₂×C₄	—	4	1	no	—
276	C₂×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂×C₄	—	8	2	no	—
278	C₂×C₄	—	8	2	no	—
279	C₂×C₄	—	8	2	no	—
280	C₂×C₄	—	8	2	no	—
281	C₂×C₄	—	8	2	no	—
282	C₂×C₄	—	8	2	no	—
283	C₂×C₄	—	8	2	no	—
284	C₂×C₄	—	8	2	no	—
285	C₂×C₄	—	8	2	no	—
286	C₂×C₄	—	16	8	no	—
287	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×D₁₆	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#508	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	#578	1	1	yes	characteristic
296	C₈	—	2	2	no	—
297	C₈	—	4	1	no	—
298	C₈	—	4	1	no	—
299	C₈	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
300	C₈	#542	1	1	yes	characteristic
301	C₈	#547	1	1	yes	characteristic
302	C₈	#553	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	4	1	no	—
307	C₂²	—	4	1	no	—
308	C₂²	—	4	1	no	—
309	C₂²	—	4	1	no	—
310	C₂²	—	8	4	no	—
311	C₂²	—	8	4	no	—
312	C₂²	—	8	4	no	—
313	C₂²	—	16	2	no	—
314	C₂²	—	16	2	no	—
315	C₂²	—	16	2	no	—
316	C₂²	—	16	2	no	—
317	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#3334	1	1	yes	characteristic
320	C₂²	C₂²×D₁₆	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#508	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	#3415	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#3417	1	1	yes	characteristic
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	4	1	no	—
328	C₄	—	4	1	no	—
329	C₄	—	16	2	no	—
330	C₄	—	16	2	no	—
331	C₄	—	16	2	no	—
332	C₄	#2422	1	1	yes	characteristic
333	C₄	#3175	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#3283	1	1	yes	characteristic
335	C₄	#3339	1	1	yes	characteristic
336	C₂	—	4	2	no	—
337	C₂	—	16	4	no	—
338	C₂	#25034	1	1	yes	characteristic
339	C₂	#33733	1	1	yes	characteristic
340	C₂	#33739	1	1	yes	characteristic
341	C₂	D₄×D₁₆	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#33849	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#33901	1	1	yes	characteristic
344	C₂	#33906	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2215	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×D₁₆	C₂	semidirect
3. #25034	C₂	semidirect
4. #13480	C₂	semidirect
5. #13380	C₂	semidirect
6. #13235	C₂	semidirect
7. #13165	C₂	semidirect
8. #12935	C₂	semidirect
9. #12905	C₂	semidirect
10. #12834	C₂	semidirect
11. C₁₆×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
232. C₂²⋊C₄	D₁₆	semidirect
240. C₁₆	#123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2215	2
C₂×C₄×D₁₆	2
#25034	2
#13480	2
#13380	2
#13235	2
#13165	2
#12935	2
#12905	2
#12834	2
C₁₆×C₂²⋊C₄	2