Subgroups — #5021362

Order 512.

5038 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×H(3,𝔽₄)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2850	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#16094	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
4	#15281	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#15264	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#15257	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#14662	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×H(3,𝔽₄)	—	2	24	no	—
9	C₂²×#124	C₂²	1	6	yes	—
10	C₂²×#124	C₂²	1	3	yes	—
11	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	complemented
12	C₂²×#121	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂²×#120	C₂²	1	6	yes	—
14	C₂²×#120	C₂²	1	2	yes	complemented
15	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	#2850	—	2	24	no	—
17	C₂×#394	C₂²	1	6	yes	—
18	C₂×#392	C₂²	1	6	yes	—
19	C₂×#391	C₂²	1	3	yes	complemented
20	C₂×#390	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂×#388	C₂²	1	12	yes	complemented
22	C₂×#386	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂×#382	C₂²	1	3	yes	complemented
24	C₂×#379	C₂²	1	6	yes	complemented
25	#1446	C₂²	1	6	yes	complemented
26	#1440	C₂²	1	6	yes	complemented
27	#1439	C₂²	1	12	yes	complemented
28	#1439	C₂²	1	12	yes	complemented
29	#1439	C₂²	1	12	yes	complemented
30	#1438	C₂²	1	6	yes	—
31	#1438	C₂²	1	12	yes	—
32	#1438	C₂²	1	6	yes	complemented
33	#1437	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#1436	C₂²	1	6	yes	complemented
35	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
38	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	3	yes	—
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	3	yes	—
41	H(3,𝔽₄)	—	2	128	no	—
42	C₂×#124	—	2	24	no	—
43	C₂×#124	—	2	48	no	—
44	C₂×#124	—	2	24	no	—
45	C₂×#124	D₄	1	24	yes	complemented
46	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
47	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	6	no	—
49	C₂×#121	—	2	12	no	—
50	C₂×#121	—	4	6	no	—
51	C₂×#121	—	4	6	no	—
52	C₂×#120	—	2	24	no	—
53	C₂×#120	—	2	48	no	—
54	C₂×#120	—	4	12	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
58	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
66	C₂²×C₄²	—	2	12	no	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#394	—	4	12	no	—
71	#392	—	4	12	no	—
72	#391	—	2	12	no	—
73	#390	—	2	12	no	—
74	#388	—	2	48	no	—
75	#386	—	2	48	no	—
76	#382	—	2	12	no	—
77	#379	—	4	12	no	—
78	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
80	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
83	C₂⁵	—	2	12	no	—
84	C₂⁵	—	4	6	no	—
85	C₂⁵	—	4	12	no	—
86	C₂⁵	—	4	6	no	—
87	C₂⁵	C₂⁴	1	6	yes	—
88	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	3	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	6	no	—
93	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
94	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
100	C₂²×D₄	—	4	3	no	—
101	C₂²×D₄	—	4	3	no	—
102	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
103	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	12	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
108	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
109	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	6	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	6	no	—
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
119	#124	—	2	192	no	—
120	#124	—	2	96	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	4	48	no	—
122	#121	—	4	48	no	—
123	#120	—	2	192	no	—
124	#120	—	4	32	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	4	3	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	6	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	12	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	48	yes	—
155	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
160	#95	—	2	24	no	—
161	#95	—	2	24	no	—
162	#95	—	4	12	no	—
163	#95	—	4	6	no	—
164	#95	—	4	6	no	—
165	C₂⁴	—	2	3	no	—
166	C₂⁴	—	2	3	no	—
167	C₂⁴	—	2	6	no	—
168	C₂⁴	—	2	16	no	—
169	C₂⁴	—	2	12	no	—
170	C₂⁴	—	2	12	no	—
171	C₂⁴	—	2	6	no	—
172	C₂⁴	—	2	6	no	—
173	C₂⁴	—	2	12	no	—
174	C₂⁴	—	2	12	no	—
175	C₂⁴	—	2	12	no	—
176	C₂⁴	—	2	12	no	—
177	C₂⁴	—	4	8	no	—
178	C₂⁴	—	4	24	no	—
179	C₂⁴	—	8	12	no	—
180	C₂⁴	—	8	12	no	—
181	C₂⁴	—	8	24	no	—
182	C₂⁴	—	8	24	no	—
183	C₂⁴	—	8	12	no	—
184	C₂⁴	—	8	4	no	—
185	C₂⁴	—	8	24	no	—
186	C₂⁴	—	8	8	no	—
187	C₂⁴	C₂²×D₄	1	12	yes	—
188	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
189	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
193	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
194	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
195	C₂×D₄	—	2	48	no	—
196	C₂×D₄	—	2	24	no	—
197	C₂×D₄	—	4	12	no	—
198	C₂×D₄	—	4	12	no	—
199	C₂×D₄	—	4	24	no	—
200	C₂×D₄	—	4	48	no	—
201	C₂×D₄	—	4	24	no	—
202	C₂×D₄	—	8	12	no	—
203	C₂×D₄	—	8	12	no	—
204	C₂×D₄	—	8	12	no	—
205	C₂×D₄	—	8	12	no	—
206	C₂×D₄	—	8	24	no	—
207	C₂×D₄	—	8	24	no	—
208	C₂×D₄	—	8	12	no	—
209	C₂×D₄	—	8	24	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
236	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
239	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	12	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	96	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	24	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	8	12	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	8	24	no	—
251	C₄²	—	2	16	no	—
252	C₄²	—	4	12	no	—
253	C₄²	#120	1	16	yes	complemented
254	C₂³	—	2	6	no	—
255	C₂³	—	2	12	no	—
256	C₂³	—	2	6	no	—
257	C₂³	—	2	12	no	—
258	C₂³	—	2	12	no	—
259	C₂³	—	2	12	no	—
260	C₂³	—	2	12	no	—
261	C₂³	—	2	24	no	—
262	C₂³	—	2	24	no	—
263	C₂³	—	4	1	no	—
264	C₂³	—	4	3	no	—
265	C₂³	—	4	6	no	—
266	C₂³	—	4	3	no	—
267	C₂³	—	4	1	no	—
268	C₂³	—	4	2	no	—
269	C₂³	—	4	12	no	—
270	C₂³	—	4	12	no	—
271	C₂³	—	4	12	no	—
272	C₂³	—	4	12	no	—
273	C₂³	—	4	12	no	—
274	C₂³	—	4	12	no	—
275	C₂³	—	4	6	no	—
276	C₂³	—	4	6	no	—
277	C₂³	—	4	12	no	—
278	C₂³	—	4	6	no	—
279	C₂³	—	4	12	no	—
280	C₂³	—	4	6	no	—
281	C₂³	—	4	12	no	—
282	C₂³	—	4	12	no	—
283	C₂³	—	4	12	no	—
284	C₂³	—	4	12	no	—
285	C₂³	—	8	48	no	—
286	C₂³	—	8	48	no	—
287	C₂³	—	8	96	no	—
288	C₂³	—	8	48	no	—
289	C₂³	H(3,𝔽₄)	1	4	yes	complemented
290	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
291	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
292	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
293	C₂³	#585	1	6	yes	—
294	Q₈	—	8	24	no	—
295	D₄	—	8	24	no	—
296	D₄	—	8	48	no	—
297	D₄	—	8	48	no	—
298	C₂×C₄	—	2	6	no	—
299	C₂×C₄	—	2	6	no	—
300	C₂×C₄	—	2	12	no	—
301	C₂×C₄	—	2	12	no	—
302	C₂×C₄	—	2	12	no	—
303	C₂×C₄	—	2	6	no	—
304	C₂×C₄	—	2	12	no	—
305	C₂×C₄	—	2	12	no	—
306	C₂×C₄	—	2	12	no	—
307	C₂×C₄	—	4	48	no	—
308	C₂×C₄	—	4	3	no	—
309	C₂×C₄	—	4	3	no	—
310	C₂×C₄	—	4	6	no	—
311	C₂×C₄	—	4	12	no	—
312	C₂×C₄	—	4	12	no	—
313	C₂×C₄	—	4	6	no	—
314	C₂×C₄	—	4	6	no	—
315	C₂×C₄	—	4	12	no	—
316	C₂×C₄	—	4	12	no	—
317	C₂×C₄	—	4	6	no	—
318	C₂×C₄	—	4	6	no	—
319	C₂×C₄	—	4	6	no	—
320	C₂×C₄	—	4	6	no	—
321	C₂×C₄	—	4	12	no	—
322	C₂×C₄	—	4	12	no	—
323	C₂×C₄	C₂×#120	1	12	yes	—
324	C₂²	—	2	12	no	—
325	C₂²	—	4	6	no	—
326	C₂²	—	4	12	no	—
327	C₂²	—	4	6	no	—
328	C₂²	—	4	12	no	—
329	C₂²	—	4	24	no	—
330	C₂²	—	4	12	no	—
331	C₂²	—	4	12	no	—
332	C₂²	—	4	24	no	—
333	C₂²	—	8	64	no	—
334	C₂²	—	8	12	no	—
335	C₂²	—	8	12	no	—
336	C₂²	—	8	12	no	—
337	C₂²	—	8	12	no	—
338	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#3484	1	3	yes	—
340	C₂²	#3485	1	3	yes	—
341	C₂²	#3488	1	6	yes	—
342	C₂²	#3488	1	6	yes	—
343	C₂²	C₂×H(3,𝔽₄)	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#3529	1	3	yes	—
345	C₂²	#3545	1	3	yes	—
346	C₂²	#3549	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#3558	1	6	yes	—
348	C₂²	#3568	1	2	yes	—
349	C₄	—	2	12	no	—
350	C₄	—	4	6	no	—
351	C₄	—	4	12	no	—
352	C₄	—	8	6	no	—
353	C₄	—	8	6	no	—
354	C₂	—	4	4	no	—
355	C₂	—	8	12	no	—
356	C₂	#35512	1	3	yes	—
357	C₂	#45973	1	6	yes	—
358	C₂	#45977	1	3	yes	—
359	C₂	#46225	1	3	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×H(3,𝔽₄)	C₂	semidirect
2. C₂×#2850	C₂	semidirect
3. #16094	C₂	semidirect
4. #15281	C₂	semidirect
5. #15264	C₂	semidirect
6. #15257	C₂	semidirect
7. #14662	C₂	semidirect
11. C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
14. C₂²×#120	C₂²	semidirect
15. C₂³×C₄²	C₂²	semidirect
19. C₂×#391	C₂²	semidirect
21. C₂×#388	C₂²	semidirect
22. C₂×#386	C₂²	semidirect
23. C₂×#382	C₂²	semidirect
24. C₂×#379	C₂²	semidirect
25. #1446	C₂²	semidirect
26. #1440	C₂²	semidirect
27. #1439	C₂²	semidirect
28. #1439	C₂²	semidirect
29. #1439	C₂²	semidirect
32. #1438	C₂²	semidirect
33. #1437	C₂²	semidirect
34. #1436	C₂²	semidirect
45. C₂×#124	D₄	semidirect
253. C₄²	#120	semidirect
289. C₂³	H(3,𝔽₄)	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×H(3,𝔽₄)	2
C₂×#2850	2
#16094	2
#15281	2
#15264	2
#15257	2
#14662	2