Subgroups — #502502

Order 512.

813 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2246	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2177	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#25414	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13407	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13304	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13012	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12612	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
20	#2428	—	2	2	no	—
21	#2246	—	2	4	no	—
22	#2218	—	2	4	no	—
23	#2218	—	2	4	no	—
24	#2177	—	2	4	no	—
25	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2041	—	2	2	no	—
35	#1999	—	2	2	no	—
36	#1970	C₂²	1	2	yes	—
37	#1942	C₂²	1	2	yes	—
38	#1879	—	2	2	no	—
39	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1380	C₂²	1	2	yes	—
41	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
44	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#127	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂×#121	—	2	2	no	—
50	C₂×#121	—	4	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
55	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
56	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
60	C₂×D₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
61	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
62	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
63	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#493	—	2	4	no	—
69	#493	—	4	2	no	—
70	#466	—	2	4	no	—
71	#466	—	2	4	no	—
72	#466	—	4	2	no	—
73	#466	—	4	2	no	—
74	C₄×D₈	—	2	4	no	—
75	C₄×D₈	—	4	2	no	—
76	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×#102	—	2	2	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	C₂×#102	—	2	2	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	#394	—	4	2	no	—
86	#392	—	4	2	no	—
87	#390	—	2	2	no	—
88	#389	—	2	2	no	—
89	#386	—	4	2	no	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
91	#367	—	2	2	no	—
92	#367	D₄	1	4	yes	complemented
93	#357	—	2	4	no	—
94	#357	—	2	4	no	—
95	#357	—	2	4	no	—
96	#357	—	4	2	no	—
97	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
98	#346	—	2	2	no	—
99	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	2	no	—
101	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
102	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
109	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×D₈	—	2	2	no	—
112	C₂×D₈	—	2	2	no	—
113	C₂×D₈	—	2	2	no	—
114	C₂×D₈	—	2	2	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	—	2	2	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×D₈	—	4	4	no	—
123	C₂×D₈	—	4	4	no	—
124	C₂×D₈	—	8	2	no	—
125	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	#127	—	4	4	no	—
137	#127	—	8	2	no	—
138	#121	—	4	4	no	—
139	#121	—	4	4	no	—
140	#121	—	8	8	no	—
141	#121	—	8	2	no	—
142	#121	—	8	2	no	—
143	C₄×D₄	—	4	4	no	—
144	C₄×D₄	—	8	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	D₁₆	—	2	8	no	—
157	D₁₆	—	4	8	no	—
158	D₁₆	—	4	4	no	—
159	M₃₂	—	4	4	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
166	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
167	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
168	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
171	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
172	#107	—	2	2	no	—
173	#107	—	2	2	no	—
174	#107	—	2	2	no	—
175	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	#102	—	4	4	no	—
177	#102	—	4	4	no	—
178	#102	—	4	4	no	—
179	#102	—	8	2	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	C₄×C₈	—	2	1	no	—
185	#95	—	4	2	no	—
186	#95	D₈	1	2	yes	—
187	C₂⁴	—	4	2	no	—
188	C₂⁴	—	4	2	no	—
189	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	8	4	no	—
203	C₂×D₄	—	8	4	no	—
204	C₂×D₄	—	8	4	no	—
205	C₂×D₄	—	8	4	no	—
206	C₂×D₄	—	8	4	no	—
207	C₂×D₄	—	8	4	no	—
208	C₂×D₄	—	8	4	no	—
209	C₂×D₄	—	8	4	no	—
210	C₂×D₄	—	16	2	no	—
211	C₂×D₄	—	16	2	no	—
212	C₂×D₄	—	16	2	no	—
213	C₂×D₄	—	16	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	D₈	—	2	4	no	—
230	D₈	—	2	4	no	—
231	D₈	—	4	2	no	—
232	D₈	—	4	2	no	—
233	D₈	—	4	2	no	—
234	D₈	—	4	2	no	—
235	D₈	—	4	2	no	—
236	D₈	—	4	2	no	—
237	D₈	—	8	8	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	2	1	no	—
243	C₂×C₈	—	2	1	no	—
244	C₂×C₈	—	2	1	no	—
245	C₂×C₈	—	2	1	no	—
246	C₂×C₈	—	4	1	no	—
247	C₂×C₈	—	4	1	no	—
248	C₂×C₈	—	4	1	no	—
249	C₂×C₈	—	4	1	no	—
250	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
268	C₄²	—	2	1	no	—
269	C₄²	—	2	1	no	—
270	C₄²	—	2	1	no	—
271	C₄²	—	2	1	no	—
272	C₁₆	—	2	2	no	—
273	C₁₆	—	4	1	no	—
274	C₁₆	—	4	1	no	—
275	C₁₆	#121	1	4	yes	complemented
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	8	2	no	—
283	C₂³	—	8	2	no	—
284	C₂³	—	8	2	no	—
285	C₂³	—	8	2	no	—
286	C₂³	—	8	2	no	—
287	C₂³	—	8	2	no	—
288	C₂³	—	8	2	no	—
289	C₂³	—	8	2	no	—
290	C₂³	—	8	2	no	—
291	C₂³	—	8	2	no	—
292	C₂³	—	8	2	no	—
293	C₂³	—	8	2	no	—
294	C₂³	—	8	2	no	—
295	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	8	2	no	—
299	D₄	—	8	2	no	—
300	D₄	—	8	2	no	—
301	D₄	—	8	2	no	—
302	D₄	—	8	2	no	—
303	D₄	—	8	2	no	—
304	D₄	—	16	8	no	—
305	D₄	—	16	8	no	—
306	D₄	—	16	8	no	—
307	D₄	—	16	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	1	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	4	1	no	—
317	C₂×C₄	—	4	1	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	2	no	—
322	C₂×C₄	—	8	2	no	—
323	C₂×C₄	—	8	2	no	—
324	C₂×C₄	—	8	2	no	—
325	C₂×C₄	—	8	2	no	—
326	C₂×C₄	—	16	8	no	—
327	C₂×C₄	#509	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	2	2	no	—
335	C₈	—	4	1	no	—
336	C₈	—	4	1	no	—
337	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
338	C₈	#540	1	1	yes	characteristic
339	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
340	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	1	no	—
344	C₂²	—	4	1	no	—
345	C₂²	—	4	1	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	—	8	4	no	—
349	C₂²	—	16	2	no	—
350	C₂²	—	16	2	no	—
351	C₂²	—	16	2	no	—
352	C₂²	—	16	2	no	—
353	C₂²	—	16	2	no	—
354	C₂²	—	16	2	no	—
355	C₂²	—	16	2	no	—
356	C₂²	—	16	2	no	—
357	C₂²	—	16	2	no	—
358	C₂²	—	16	2	no	—
359	C₂²	—	16	2	no	—
360	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#509	1	2	yes	—
364	C₂²	#3415	1	2	yes	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	1	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	—	16	2	no	—
370	C₄	#2428	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#3176	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
374	C₂	—	8	1	no	—
375	C₂	—	16	4	no	—
376	C₂	—	32	2	no	—
377	C₂	#25414	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#33740	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#33748	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#33830	1	2	yes	—
381	C₂	#33840	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2246	C₂	semidirect
2. C₂×#2218	C₂	semidirect
3. C₂×#2218	C₂	semidirect
4. C₂×#2177	C₂	semidirect
5. #25414	C₂	semidirect
6. #13407	C₂	semidirect
7. #13304	C₂	semidirect
8. #13239	C₂	semidirect
9. #13166	C₂	semidirect
10. #13012	C₂	semidirect
11. #12612	C₂	semidirect
60. C₂×D₁₆	D₄	semidirect
92. #367	D₄	semidirect
275. C₁₆	#121	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2246	2
C₂×#2218	2
C₂×#2177	2
#25414	2
#13407	2
#13304	2
#13239	2
#13166	2
#13012	2
#12612	2