Subgroups — #502504

Order 512.

713 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 359 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2249	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2219	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#2176	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#25412	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13013	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12612	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×Q₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×SD₃₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#495	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#467	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#466	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	#2426	—	2	2	no	—
21	#2249	—	2	4	no	—
22	#2219	—	2	4	no	—
23	#2218	—	2	4	no	—
24	#2176	—	2	4	no	—
25	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#367	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#358	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#346	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2042	—	2	2	no	—
35	#2000	—	2	2	no	—
36	#1970	C₂²	1	2	yes	—
37	#1942	C₂²	1	2	yes	—
38	#1880	—	2	2	no	—
39	C₈×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1380	C₂²	1	2	yes	—
41	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1374	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×SD₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#124	—	2	2	no	—
48	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×#121	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
52	C₂×Q₃₂	—	2	2	no	—
53	C₂×Q₃₂	D₄	1	4	yes	complemented
54	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
55	C₂×SD₃₂	—	2	4	no	—
56	C₂×SD₃₂	—	4	2	no	—
57	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
58	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
61	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
62	C₂×M₃₂	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#495	—	2	4	no	—
68	#495	—	4	2	no	—
69	#467	—	2	4	no	—
70	#467	—	4	2	no	—
71	#466	—	2	4	no	—
72	#466	—	4	2	no	—
73	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
74	C₄×Q₁₆	—	4	2	no	—
75	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#103	—	2	2	no	—
78	C₂×#103	—	2	2	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	#396	—	4	2	no	—
85	#394	—	4	2	no	—
86	#390	—	2	2	no	—
87	#390	—	4	2	no	—
88	#389	—	2	2	no	—
89	#388	—	4	2	no	—
90	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
91	#367	—	2	2	no	—
92	#367	D₄	1	4	yes	—
93	#358	—	2	4	no	—
94	#358	—	2	4	no	—
95	#357	—	2	4	no	—
96	#357	—	4	2	no	—
97	C₂²⋊C₁₆	—	2	2	no	—
98	#346	—	2	2	no	—
99	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
100	#340	—	2	2	no	—
101	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
102	#336	D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
106	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
114	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
115	C₂×SD₁₆	—	8	2	no	—
116	C₂×D₈	—	2	2	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	#124	—	4	4	no	—
133	#124	—	8	2	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	8	2	no	—
136	#121	—	4	4	no	—
137	#121	—	8	2	no	—
138	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
139	C₄×Q₈	—	8	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	D₈	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	Q₃₂	—	2	8	no	—
156	SD₃₂	—	4	8	no	—
157	D₁₆	—	4	4	no	—
158	M₃₂	—	4	4	no	—
159	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
160	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
161	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
162	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
163	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
166	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
167	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
170	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
171	#107	—	2	2	no	—
172	#107	—	2	2	no	—
173	#107	—	2	2	no	—
174	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	#103	—	4	4	no	—
176	#103	—	4	4	no	—
177	#102	—	4	4	no	—
178	#102	—	8	2	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
180	C₄×C₈	—	2	1	no	—
181	C₄×C₈	—	2	1	no	—
182	C₄×C₈	—	2	1	no	—
183	C₄×C₈	—	2	1	no	—
184	#95	—	4	2	no	—
185	#95	D₈	1	2	yes	—
186	C₂⁴	—	4	2	no	—
187	C₂⁴	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	2	no	—
199	C₂×D₄	—	4	2	no	—
200	C₂×D₄	—	8	4	no	—
201	C₂×D₄	—	8	4	no	—
202	C₂×D₄	—	16	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
212	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	Q₁₆	—	2	4	no	—
217	Q₁₆	—	2	4	no	—
218	Q₁₆	—	4	2	no	—
219	Q₁₆	—	4	2	no	—
220	SD₁₆	—	8	8	no	—
221	D₈	—	4	2	no	—
222	D₈	—	4	2	no	—
223	D₈	—	4	2	no	—
224	D₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	1	no	—
226	C₂×C₈	—	2	1	no	—
227	C₂×C₈	—	2	1	no	—
228	C₂×C₈	—	2	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	1	no	—
230	C₂×C₈	—	2	1	no	—
231	C₂×C₈	—	2	1	no	—
232	C₂×C₈	—	2	1	no	—
233	C₂×C₈	—	4	1	no	—
234	C₂×C₈	—	4	1	no	—
235	C₂×C₈	—	4	1	no	—
236	C₂×C₈	—	4	1	no	—
237	C₂×C₈	#135	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	16	2	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	2	1	no	—
261	C₄²	—	2	1	no	—
262	C₄²	—	8	4	no	—
263	C₁₆	—	2	2	no	—
264	C₁₆	—	4	1	no	—
265	C₁₆	—	4	1	no	—
266	C₁₆	#121	1	4	yes	—
267	C₂³	—	2	2	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	1	no	—
270	C₂³	—	2	1	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	—	8	2	no	—
278	C₂³	—	8	2	no	—
279	C₂³	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	4	4	no	—
281	Q₈	—	4	4	no	—
282	Q₈	—	8	2	no	—
283	Q₈	—	8	2	no	—
284	D₄	—	8	2	no	—
285	D₄	—	8	2	no	—
286	D₄	—	8	2	no	—
287	D₄	—	8	2	no	—
288	D₄	—	16	8	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	1	no	—
300	C₂×C₄	—	4	1	no	—
301	C₂×C₄	—	4	1	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	2	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
317	C₈	—	2	2	no	—
318	C₈	—	4	1	no	—
319	C₈	—	4	1	no	—
320	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
321	C₈	#540	1	1	yes	characteristic
322	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
323	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	—	4	2	no	—
325	C₂²	—	4	2	no	—
326	C₂²	—	4	1	no	—
327	C₂²	—	4	1	no	—
328	C₂²	—	4	1	no	—
329	C₂²	—	16	2	no	—
330	C₂²	—	16	2	no	—
331	C₂²	—	16	2	no	—
332	C₂²	—	16	2	no	—
333	C₂²	—	16	2	no	—
334	C₂²	—	16	2	no	—
335	C₂²	—	16	2	no	—
336	C₂²	#3169	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#3414	1	2	yes	—
340	C₂²	#3416	1	2	yes	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	1	no	—
344	C₄	—	8	4	no	—
345	C₄	—	8	4	no	—
346	C₄	—	16	2	no	—
347	C₄	#2428	1	1	yes	characteristic
348	C₄	#3176	1	1	yes	characteristic
349	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
351	C₂	—	8	1	no	—
352	C₂	—	32	2	no	—
353	C₂	#25414	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#33742	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#33750	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#33837	1	2	yes	—
357	C₂	#33841	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂²×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
prime radical	C₂×#2218	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄×C₂²⋊C₄ ◁ C₈×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2249	C₂	semidirect
2. C₂×#2219	C₂	semidirect
4. C₂×#2176	C₂	semidirect
5. #25412	C₂	semidirect
6. #13408	C₂	semidirect
7. #13305	C₂	semidirect
8. #13239	C₂	semidirect
9. #13166	C₂	semidirect
10. #13013	C₂	semidirect
11. #12612	C₂	semidirect
53. C₂×Q₃₂	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2249	2
C₂×#2219	2
C₂×#2218	2
C₂×#2176	2
#25412	2
#13408	2
#13305	2
#13239	2
#13166	2
#13013	2
#12612	2