Subgroups — #502506

Order 512.

709 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 345 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2246	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2221	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33607	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#33456	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#25434	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13413	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13319	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13245	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13017	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12614	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×D₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#493	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#472	C₂²	1	2	yes	—
18	#3058	C₂²	1	2	yes	—
19	#3041	—	2	2	no	—
20	#2948	C₂²	1	2	yes	—
21	#2246	—	2	4	no	—
22	#2221	—	2	4	no	—
23	#2218	—	2	2	no	—
24	#2215	—	2	2	no	—
25	#2177	—	2	2	no	—
26	C₄×D₁₆	—	2	2	no	—
27	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2158	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
31	#2140	C₂²	1	2	yes	—
32	#2140	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#350	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2045	—	2	2	no	—
37	#2002	—	2	2	no	—
38	#1978	C₂²	1	2	yes	—
39	#1945	C₂²	1	2	yes	—
40	#1887	—	2	2	no	—
41	#1764	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1382	C₂²	1	2	yes	—
43	#1379	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1376	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
47	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#535	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	#518	—	2	2	no	—
53	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
55	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
56	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
57	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
58	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
59	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
60	C₂×D₁₆	—	2	4	no	—
61	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
62	C₂×D₁₆	—	4	2	no	—
63	C₂×D₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
64	#504	—	2	2	no	—
65	#504	—	2	2	no	—
66	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
67	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#493	—	2	4	no	—
73	#493	—	4	2	no	—
74	#472	—	2	4	no	—
75	#472	—	4	2	no	—
76	#469	—	4	2	no	—
77	#466	—	2	4	no	—
78	#463	—	4	4	no	—
79	#459	—	4	4	no	—
80	#442	—	4	2	no	—
81	C₄×D₈	—	2	4	no	—
82	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
83	#427	C₂³	1	2	yes	—
84	#424	—	2	2	no	—
85	C₂×#104	D₄	1	1	yes	characteristic
86	#418	—	2	2	no	—
87	#418	—	2	2	no	—
88	#418	—	2	2	no	—
89	#416	D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×#100	—	2	2	no	—
91	C₂×#100	—	2	2	no	—
92	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	#368	—	2	2	no	—
95	#367	D₄	1	2	yes	complemented
96	#366	D₄	1	2	yes	complemented
97	#361	—	2	4	no	—
98	#361	—	4	2	no	—
99	#357	—	2	4	no	—
100	#357	—	2	4	no	—
101	#350	—	2	2	no	—
102	#346	—	2	1	no	—
103	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
104	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
105	#341	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#339	—	2	2	no	—
107	#339	D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	8	2	no	—
112	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
113	AGL(1,ℤ/8)	—	8	2	no	—
114	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
115	C₂×D₈	—	2	2	no	—
116	C₂×D₈	—	2	2	no	—
117	C₂×D₈	—	2	2	no	—
118	C₂×D₈	—	2	2	no	—
119	C₂×D₈	—	2	2	no	—
120	C₂×D₈	—	2	2	no	—
121	C₂×D₈	—	2	2	no	—
122	C₂×D₈	—	2	2	no	—
123	C₂×D₈	—	2	2	no	—
124	C₂×D₈	—	2	2	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	C₂×D₈	—	4	4	no	—
127	C₂×D₈	—	4	2	no	—
128	C₂×D₈	—	4	4	no	—
129	C₂×D₈	—	8	2	no	—
130	C₂×D₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	#131	—	2	1	no	—
132	#131	—	2	1	no	—
133	#131	—	2	1	no	—
134	#131	—	2	1	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
142	#127	—	4	4	no	—
143	#127	—	4	2	no	—
144	#127	—	4	4	no	—
145	#124	—	4	2	no	—
146	#121	—	4	4	no	—
147	#120	—	8	2	no	—
148	C₄×D₄	—	4	4	no	—
149	C₄×D₄	—	4	4	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	D₁₆	—	2	4	no	—
155	D₁₆	—	2	4	no	—
156	D₁₆	—	4	8	no	—
157	D₁₆	—	4	2	no	—
158	D₁₆	—	4	2	no	—
159	M₃₂	—	2	1	no	—
160	M₃₂	—	2	1	no	—
161	M₃₂	—	2	1	no	—
162	M₃₂	—	2	1	no	—
163	M₃₂	—	4	2	no	—
164	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
165	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
166	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
167	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
168	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
169	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
173	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
174	#108	—	2	2	no	—
175	#108	—	2	2	no	—
176	#107	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	#106	—	2	2	no	—
178	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
179	#104	—	2	2	no	—
180	#103	D₈	1	2	yes	—
181	#102	—	4	4	no	—
182	#102	—	4	4	no	—
183	#102	—	4	4	no	—
184	#102	D₈	1	2	yes	—
185	#100	—	4	4	no	—
186	#100	—	8	2	no	—
187	#97	—	2	1	no	—
188	C₄×C₈	—	2	1	no	—
189	C₄×C₈	—	2	1	no	—
190	C₄×C₈	—	2	1	no	—
191	C₂⁴	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	4	2	no	—
193	#41	—	2	1	no	—
194	#41	—	2	1	no	—
195	#41	—	2	1	no	—
196	#41	—	2	1	no	—
197	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
198	C₂×D₄	—	2	1	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	—	4	2	no	—
208	C₂×D₄	—	4	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	2	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	8	8	no	—
212	C₂×D₄	—	8	4	no	—
213	C₂×D₄	—	16	8	no	—
214	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	SD₁₆	—	8	4	no	—
220	D₈	—	2	4	no	—
221	D₈	—	2	4	no	—
222	D₈	—	4	2	no	—
223	D₈	—	4	2	no	—
224	D₈	—	4	2	no	—
225	D₈	—	4	2	no	—
226	D₈	—	4	2	no	—
227	D₈	—	4	2	no	—
228	D₈	—	8	8	no	—
229	D₈	—	8	4	no	—
230	M₁₆	—	2	1	no	—
231	M₁₆	—	2	1	no	—
232	M₁₆	—	2	1	no	—
233	M₁₆	—	2	1	no	—
234	M₁₆	—	4	1	no	—
235	M₁₆	—	4	1	no	—
236	M₁₆	—	4	2	no	—
237	M₁₆	—	4	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	1	no	—
239	C₂×C₈	—	2	1	no	—
240	C₂×C₈	—	2	1	no	—
241	C₂×C₈	—	2	1	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	1	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	C₂×D₈	1	2	yes	—
246	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	2	yes	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
258	C₄²	—	2	1	no	—
259	C₄²	—	2	1	no	—
260	C₄²	—	4	2	no	—
261	C₄²	#135	1	2	yes	—
262	C₁₆	—	2	2	no	—
263	C₁₆	—	4	1	no	—
264	C₁₆	—	4	1	no	—
265	C₁₆	#121	1	2	yes	—
266	C₁₆	#121	1	2	yes	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	4	4	no	—
269	C₂³	—	8	2	no	—
270	C₂³	—	8	2	no	—
271	C₂³	—	8	2	no	—
272	C₂³	—	8	2	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	16	4	no	—
275	C₂³	—	16	4	no	—
276	C₂³	#576	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	2	1	no	—
278	Q₈	—	2	1	no	—
279	D₄	—	2	1	no	—
280	D₄	—	2	1	no	—
281	D₄	—	4	1	no	—
282	D₄	—	4	1	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	D₄	—	4	4	no	—
285	D₄	—	8	2	no	—
286	D₄	—	8	2	no	—
287	D₄	—	8	2	no	—
288	D₄	—	8	2	no	—
289	D₄	—	8	2	no	—
290	D₄	—	8	2	no	—
291	D₄	—	16	16	no	—
292	D₄	—	32	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	32	4	no	—
301	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
307	C₈	—	2	2	no	—
308	C₈	—	4	1	no	—
309	C₈	—	4	1	no	—
310	C₈	—	8	2	no	—
311	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
312	C₈	#540	1	1	yes	characteristic
313	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
314	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	4	2	no	—
317	C₂²	—	4	1	no	—
318	C₂²	—	8	4	no	—
319	C₂²	—	16	4	no	—
320	C₂²	—	16	4	no	—
321	C₂²	—	16	4	no	—
322	C₂²	—	16	4	no	—
323	C₂²	—	16	2	no	—
324	C₂²	—	32	2	no	—
325	C₂²	—	32	2	no	—
326	C₂²	#3176	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	#3280	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	2	no	—
331	C₄	—	4	1	no	—
332	C₄	—	8	4	no	—
333	C₄	#2428	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#3169	1	1	yes	characteristic
335	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
336	C₄	#3287	1	1	yes	characteristic
337	C₂	—	2	1	no	—
338	C₂	—	2	1	no	—
339	C₂	—	8	1	no	—
340	C₂	—	16	4	no	—
341	C₂	—	32	2	no	—
342	C₂	#25414	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#33858	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #1764 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2246	C₂	semidirect
2. C₂×#2221	C₂	semidirect
3. #33607	C₂	semidirect
4. #33456	C₂	semidirect
5. #25434	C₂	semidirect
6. #13413	C₂	semidirect
7. #13319	C₂	semidirect
8. #13245	C₂	semidirect
9. #13169	C₂	semidirect
10. #13017	C₂	semidirect
11. #12614	C₂	semidirect
63. C₂×D₁₆	D₄	semidirect
95. #367	D₄	semidirect
96. #366	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2246	2
C₂×#2221	2
#33607	2
#33456	2
#25434	2
#13413	2
#13319	2
#13245	2
#13169	2
#13017	2
#12614	2