Subgroups — #502516

Order 512.

672 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#33720	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2221	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#33610	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#2178	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#25441	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#13411	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#13307	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#13171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#13029	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#12614	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#509	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#508	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×D₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#504	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#3155	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#472	C₂²	1	2	yes	—
18	#3062	—	2	2	no	—
19	#3061	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#443	C₂²	1	2	yes	—
21	#2250	—	2	2	no	—
22	#2249	—	2	1	no	—
23	#2246	—	2	1	no	—
24	#2221	—	2	4	no	—
25	#2220	—	2	2	no	—
26	#2216	—	2	1	no	—
27	#2215	—	2	1	no	—
28	#2178	—	2	4	no	—
29	C₂×#368	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#366	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#361	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#359	C₂²	1	2	yes	—
33	#2139	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#357	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#350	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#2108	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#2037	—	2	2	no	—
39	#2006	—	2	2	no	—
40	#1970	C₂²	1	2	yes	—
41	#1952	C₂²	1	2	yes	—
42	#1907	—	2	2	no	—
43	#1764	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#1387	C₂²	1	2	yes	—
45	#1379	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#1376	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
48	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
49	C₂×#135	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×D₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#131	—	2	2	no	—
52	C₂×#131	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#537	—	2	2	no	—
54	#535	—	2	2	no	—
55	#509	—	2	4	no	—
56	#509	—	4	2	no	—
57	#508	—	2	2	no	—
58	#508	—	2	2	no	—
59	C₂×Q₃₂	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×SD₃₂	—	2	2	no	—
61	C₂×SD₃₂	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
63	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
64	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
65	C₂×D₁₆	—	2	1	no	—
66	C₂×D₁₆	—	2	2	no	—
67	C₂×D₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
68	#504	—	2	2	no	—
69	#504	—	2	2	no	—
70	C₂×M₃₂	—	2	1	no	—
71	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×M₃₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₁₆	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#496	—	4	2	no	—
77	#495	—	2	2	no	—
78	#493	—	2	2	no	—
79	#472	—	2	4	no	—
80	#472	—	4	2	no	—
81	#469	—	4	2	no	—
82	#468	—	4	2	no	—
83	#468	—	4	2	no	—
84	#467	—	2	2	no	—
85	#466	—	2	2	no	—
86	#466	—	4	2	no	—
87	#465	—	4	2	no	—
88	#443	—	2	4	no	—
89	#443	—	4	2	no	—
90	C₂×#108	C₂³	1	2	yes	—
91	#428	—	2	2	no	—
92	C₂×#107	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×#104	—	2	2	no	—
94	C₂×#104	D₄	1	1	yes	characteristic
95	#417	—	2	2	no	—
96	#416	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#102	—	2	2	no	—
98	C₂×#100	—	2	2	no	—
99	#405	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#390	—	2	2	no	—
102	#368	D₄	1	4	yes	complemented
103	#366	—	2	1	no	—
104	#366	—	2	1	no	—
105	#361	—	2	4	no	—
106	#359	—	2	4	no	—
107	#358	—	2	2	no	—
108	#357	—	2	2	no	—
109	#357	—	4	2	no	—
110	#350	—	2	2	no	—
111	#346	—	2	1	no	—
112	C₄×C₁₆	—	2	2	no	—
113	C₄×C₁₆	—	2	1	no	—
114	#343	—	2	2	no	—
115	#341	D₄	1	1	yes	characteristic
116	#339	D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
121	AGL(1,ℤ/8)	—	4	4	no	—
122	AGL(1,ℤ/8)	—	8	2	no	—
123	AGL(1,ℤ/8)	—	8	2	no	—
124	#135	—	2	2	no	—
125	#135	—	2	2	no	—
126	#135	—	2	2	no	—
127	#135	—	2	2	no	—
128	C₂×Q₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×D₈	—	2	2	no	—
133	C₂×D₈	—	2	2	no	—
134	C₂×D₈	—	2	2	no	—
135	C₂×D₈	—	2	2	no	—
136	C₂×D₈	—	2	2	no	—
137	C₂×D₈	—	2	2	no	—
138	C₂×D₈	—	4	2	no	—
139	C₂×D₈	—	4	2	no	—
140	C₂×D₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	#131	—	2	1	no	—
142	#131	—	2	1	no	—
143	#131	—	2	1	no	—
144	#131	—	2	1	no	—
145	#131	—	4	4	no	—
146	#131	—	8	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
156	#127	—	4	2	no	—
157	#124	—	4	2	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
160	#121	—	4	2	no	—
161	#121	—	4	2	no	—
162	#121	—	4	2	no	—
163	#121	—	4	2	no	—
164	#121	—	8	2	no	—
165	#120	—	8	2	no	—
166	#117	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	Q₃₂	—	2	2	no	—
171	SD₃₂	—	2	4	no	—
172	SD₃₂	—	4	4	no	—
173	D₁₆	—	2	2	no	—
174	D₁₆	—	4	4	no	—
175	D₁₆	—	4	2	no	—
176	D₁₆	—	4	2	no	—
177	M₃₂	—	2	1	no	—
178	M₃₂	—	2	1	no	—
179	M₃₂	—	2	1	no	—
180	M₃₂	—	4	2	no	—
181	M₃₂	#41	1	2	yes	—
182	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
183	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
184	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
185	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
186	C₂×C₁₆	—	2	1	no	—
187	C₂×C₁₆	—	4	2	no	—
188	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₁₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₁₆	#41	1	2	yes	—
192	#108	—	2	2	no	—
193	#108	C₂×D₄	1	4	yes	—
194	#107	—	2	2	no	—
195	#107	—	2	2	no	—
196	#107	—	4	2	no	—
197	#106	—	4	2	no	—
198	#104	—	2	2	no	—
199	#104	—	4	4	no	—
200	#103	—	4	2	no	—
201	#103	D₈	1	1	yes	characteristic
202	#103	D₈	1	1	yes	characteristic
203	#102	—	4	2	no	—
204	#102	—	4	2	no	—
205	#102	—	4	2	no	—
206	#102	D₈	1	1	yes	characteristic
207	#102	D₈	1	1	yes	characteristic
208	#100	—	4	4	no	—
209	#97	—	2	1	no	—
210	C₄×C₈	—	2	1	no	—
211	C₄×C₈	—	2	1	no	—
212	C₄×C₈	—	2	1	no	—
213	C₂⁴	—	4	2	no	—
214	#41	—	2	1	no	—
215	#41	—	2	1	no	—
216	#41	—	2	1	no	—
217	#41	—	2	1	no	—
218	#41	—	4	2	no	—
219	#41	—	4	2	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂×D₄	—	2	1	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	8	2	no	—
234	C₂×D₄	—	8	2	no	—
235	C₂×D₄	—	8	2	no	—
236	C₂×D₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	Q₁₆	—	2	2	no	—
243	Q₁₆	—	2	2	no	—
244	SD₁₆	—	4	2	no	—
245	SD₁₆	—	4	2	no	—
246	SD₁₆	—	8	4	no	—
247	SD₁₆	—	8	4	no	—
248	D₈	—	2	2	no	—
249	D₈	—	2	2	no	—
250	D₈	—	4	2	no	—
251	D₈	—	4	2	no	—
252	D₈	—	4	2	no	—
253	D₈	—	4	2	no	—
254	D₈	—	8	4	no	—
255	D₈	—	8	4	no	—
256	M₁₆	—	2	1	no	—
257	M₁₆	—	2	1	no	—
258	M₁₆	—	2	1	no	—
259	M₁₆	—	2	4	no	—
260	M₁₆	—	4	2	no	—
261	M₁₆	—	4	1	no	—
262	M₁₆	—	4	1	no	—
263	M₁₆	—	8	4	no	—
264	M₁₆	#135	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	4	2	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	1	no	—
272	C₂×C₈	—	8	4	no	—
273	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
274	C₂×C₈	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
281	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
284	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
285	C₄⋊C₄	C₂×D₈	1	1	yes	characteristic
286	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
292	C₄²	—	2	1	no	—
293	C₄²	—	2	1	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₁₆	—	2	2	no	—
296	C₁₆	—	4	1	no	—
297	C₁₆	—	4	1	no	—
298	C₁₆	#121	1	2	yes	—
299	C₁₆	#121	1	2	yes	—
300	C₂³	—	2	1	no	—
301	C₂³	—	4	2	no	—
302	C₂³	—	8	2	no	—
303	C₂³	—	8	2	no	—
304	C₂³	—	8	2	no	—
305	C₂³	—	16	2	no	—
306	C₂³	—	16	2	no	—
307	C₂³	#576	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	2	1	no	—
309	Q₈	—	2	1	no	—
310	Q₈	—	4	2	no	—
311	Q₈	—	4	2	no	—
312	D₄	—	2	1	no	—
313	D₄	—	2	1	no	—
314	D₄	—	4	1	no	—
315	D₄	—	4	1	no	—
316	D₄	—	4	2	no	—
317	D₄	—	4	2	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	2	no	—
320	D₄	—	8	2	no	—
321	D₄	—	8	2	no	—
322	D₄	—	8	2	no	—
323	D₄	—	8	2	no	—
324	D₄	—	32	2	no	—
325	D₄	—	32	2	no	—
326	D₄	—	32	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	4	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	1	no	—
333	C₂×C₄	—	4	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	8	2	no	—
337	C₂×C₄	—	8	2	no	—
338	C₂×C₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	16	2	no	—
340	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#576	1	1	yes	characteristic
346	C₈	—	2	1	no	—
347	C₈	—	2	1	no	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	4	1	no	—
350	C₈	—	4	4	no	—
351	C₈	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
352	C₈	#540	1	1	yes	characteristic
353	C₈	#546	1	1	yes	characteristic
354	C₈	#550	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	—	2	1	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	4	1	no	—
358	C₂²	—	4	1	no	—
359	C₂²	—	4	1	no	—
360	C₂²	—	8	2	no	—
361	C₂²	—	8	2	no	—
362	C₂²	—	8	2	no	—
363	C₂²	—	16	4	no	—
364	C₂²	—	16	2	no	—
365	C₂²	—	16	2	no	—
366	C₂²	—	16	2	no	—
367	C₂²	—	32	2	no	—
368	C₂²	#3176	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3287	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	4	1	no	—
373	C₄	—	4	1	no	—
374	C₄	—	4	1	no	—
375	C₄	—	8	2	no	—
376	C₄	—	16	2	no	—
377	C₄	#2428	1	1	yes	characteristic
378	C₄	#3169	1	1	yes	characteristic
379	C₄	D₄×D₈	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#3280	1	1	yes	characteristic
381	C₂	—	2	1	no	—
382	C₂	—	2	1	no	—
383	C₂	—	8	1	no	—
384	C₂	—	16	2	no	—
385	C₂	—	32	2	no	—
386	C₂	#25414	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#33858	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#33859	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	D₄×D₈
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₈	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #1764 ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₈ ▷ C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #33720	C₂	semidirect
2. C₂×#2221	C₂	semidirect
3. #33610	C₂	semidirect
4. C₂×#2178	C₂	semidirect
5. #25441	C₂	semidirect
6. #13411	C₂	semidirect
7. #13307	C₂	semidirect
8. #13235	C₂	semidirect
9. #13171	C₂	semidirect
10. #13029	C₂	semidirect
11. #12614	C₂	semidirect
102. #368	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#33720	2
C₂×#2221	2
#33610	2
C₂×#2178	2
#25441	2
#13411	2
#13307	2
#13235	2
#13171	2
#13029	2
#12614	2